বহুপদ গণিত দশম শ্রেণিৰ প্ৰশ্ন উত্তৰ
অনুশীলনী 2.1
বীজগণিতীয় ৰাশি :- যিবোৰ ৰাশিৰ ধ্ৰুৱক আৰু চলক সমুহ + , - , ÷ , × আদি চাৰিটা মৌলিক প্ৰক্ৰিয়াৰ চিনৰ দ্বাৰা সংযোজিত হয় তেনে ৰাশিক বীজগণিতীয় ৰীশিবোলে ।
1. কিছুমান বহুপদ p(x) অৰ ক্ষেত্রত y = ৰ লেখবোৰ তলৰ চিত্র 2.10 ত দিয়া আছে । প্ৰতিটো ক্ষেত্রতে p(x) ৰ শূন্যৰ সংখ্যা উলিওৱা ।
(ii) শূন্য সংখ্যা 1 .
(iii) " " 3 .
(iv) " " 2 .
(v) " " 4 .
(vi) " " 3 .
অনুশীলনী 2.2
1. তলত দ্বিঘাত বহুপদবোৰৰ শূন্য উলিওৱা আৰু এই শূন্যবোৰৰ মাজৰ সম্পৰ্ক সত্যাপন কৰা ।
(I) x² - 2 x - 8
Answer :-
=> x² - 4x + 2x
=> x(x-4) + 2 (x - 4(
=> (x - 4) (x - 2)
: . X - 4 = 0 বা x + 2 = 0
=> x = 4 . => x = - 2
: . শূন্য দুটা 4 আৰু - 2
সত্যাপন :- a = 1 , b = -b, c = -8 ,
শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = 4 + (-2)
= > 4 - 2
-(-2)
=>
1
x ৰ সহগ
=>
X² ৰ সহগ
আৰু শূন্য দুটাৰ গুনফল
=> 4 × ( -2)
ধ্ৰুৱক পদ
=>
X² ৰ সহগ
(ii) 4s² - 4s + 1
Answer :-
=> 4s² - 2s - 2s + 1
=> 2s (2s - 1) - 1 (2s - 1)
=>( 2s -1 ) (2s - 1)
: . 2s - 1 = 0 বা 2s - 1 = 0
=> 2s = 1 => 2s = 1
1 1
=> s =>s
2 2
1 1
: . শূন্য দুটা = আৰু
2 2
সত্যাপন:- a = 1 , b = 4 , c = 1 ,
1 1
শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = +
2 2
2 × 2
=
2 × 2
- ( - 4 )
=
4
- x ৰ সহগ
= >
4
আৰু গুণফল
1 1
×
2 2
ধ্ৰুৱক পদ
=>
X² ৰ সহগ
(iii) 6 x² - 3 - 2 x
Answer :-
=> 6x² - 7x - 3
=> 6x² - 9x + 2x - 2
=> 3x (2x - 3) + 1(2 - 3)
=> (2x - 3) (3x - 1)
: . 2x - 3 = 0 বা 3x + 1 = 0
=> 2x = 3 = 3x = - 1
3 - 1
=> =>
2 3
=>
3 - 1
: . শূন্য দুটা আৰু
2 3
সত্যাপন : - a = 6, b = -7 c = -3 ,
3 -1
শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = +
2 3
শূন্য দুটাৰ সমষ্টি =
2 3
3 1
= -
2 3
=
3 × 3 - 2 × 1
=
6
=
6
9 - 2
=
6
- (7)
=
6
- x ৰ সহগ
=
X2 ৰ সহগ
2 - 1
শূন্য দুটাৰ গুনফল = ×
2 3
- 3
=
6
ধ্ৰুৱক পদ
=
X² ৰ সহগ /
(iv) 4 u² + 8 u
Answer :-
=> 4 u (u + 2)
: . u + 2 = 0 বা 4 u = 0
0
=> u = - 2 u =
4
= > 0
: . শূন্য দুটা - 2 আৰু 0
সত্যাপন : -
শূন্য দুটাৰ সমষ্টি : -
=> - 2 + 2
- 2 × 4
=>
4
8
=>
4
x ৰ সহগ
=>
x² ৰ সহগ
শূন্য দুটাৰ গুনফল = - 2 × 0
= 0
0
=>
4
ধ্ৰুৱক পদ
=>
x² ৰ সহগ /
(V) t² - 15
Answer : -
=> t² + 0.t - 15
=> t² - 15
=> (t) ² - (√15)²
=> (t + √15) (t -√15)
: . t + √15 = 0 বা (t - √15 = 0
=> t = - √15 , t = √15
শূন্য দুটা - √15 আৰু √15
সত্যাপন :-
শূন্য দুটাৰ সমষ্টি :- √15 + √15
- 0
=>
1
- x² ৰ সহগ
=>
x² ৰ সহগ
আৰু শূন্য দুটাৰ গুনফল = √15 × √15
- 15
=>
1
- 15 ধ্ৰুৱক
=>
1 , x² ৰ সহগ /
(vi) 3x² + 3x - 4x - 4
=> 3x (x +1) - 4 (x -1)
=> (x +1) (3x - 4)
: . x + 1 = 0 নাই বা 3x - 4 = 0
=> x = - 1 => 3x = 4
4
=> x =
3
=> x =
4
: . শূন্য দুটা - 1 আৰু
3
সত্যাপন :-
শূন্য দুটাৰ গুনফল
- 1 × 4
=>
3
- 4
=>
3
ধ্ৰুৱক পদ
=>
x² ৰ সহগ
4
আৰু শূন্য দুটাৰ সমষ্টি = - 1 +
3
- 3 + 4
=>
3
- (1)
=>
3
- x ৰ সহগ
=>
x² ৰ সহগ /
2. তলৰ যোৰ কেইটাৰ সংখ্যা দুটাক ক্ৰমে শূন্য বোৰৰ সমষ্টি আৰু গুনফল হিচাপে ধৰি প্ৰত্যেকৰ ক্ষেত্ৰত একোটা দিঘাত বহুপদ নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :-
1
(I) , 1
4
Answer :-
ইয়াত ,
.png){kind=small}
: . দিঘাত বহুপদটো হ'ল।
.png){kind=small}
= k [x² - ½ x + ( -1) ]
x
= [x² - - 1]
4
যেতিয়া, k = 4
x
= 4 [x² - -1]
1
= 4 [x² -
1
4x
= 4x² - - 4 × 1
1
= 4x² - x - 4 /
(ii) √2 , ⅓
Answer : -
দিয়া আছে
যেতিয়া k = 3
= 3 [x² - √x + ⅓]
= 3x² - 3√2 + 3 ⅛
=> 3x² - 3√2 x + 1 /
.png){kind=small}
=> k [x² - 0x + √5]
=> যেতিয়া k = 1
=> x² + √5 /
.png){kind=small}
Answer : -
: . দিঘাত বহুপদটো হ'ল ---
=> k[x² - 1.x1]
যেতিয়া, =1
=> x² - x + 1 /
(V) - ¼ , ¼
Answer : -
=> k[x² - (-¼) x + ¼)]
যেতিয়া, k = 4
=> 4 [x² + ¼x + ¼
=> 4x² + x + 1 /
(v) 4, 1
Answer : -
:. দিঘাত বহুপদটো হ'ল : -
=> k [x² - 4x + 1]
যেতিয়া ; k = 1
=> x² - 4x + 1 /
3. দিঘাত বহুপবোৰ নিৰ্ণয় কৰা যাৰ শূন্য কেইটা তলত দিয়া ধৰনৰ :
3
(I) - 4 আৰু
2
Answer :-
দিঘাত বহুপদটো হ'ল -
=> k [x² - [ ] x + (-6) ]
2
5
=> k [x² + x - 6]
2
যেতিয়া, k = 2
= 2x² + 5x - 12 /
(ii) 5 আৰু 2
Answer :-
=> k [x² - 7x + 10 ]
যেতিয়া k =1
=> x² - 7x + 10 /
=> ⅓
1 1-3
=>
3
=> k[x²+⅔ x - ⅓ ]
-2
=>
3
: . দিঘাত বহুপদটো হ'ল
যেতিয়া k = 3
=> 3x² 2x - 1 /
3
(vi) আৰু -2
-2
দিয়া আছে
=> যেতিয়া k, = 2 ,
=> 2x² + 2 ½ x - 2×3
=> 2x² + x - 6 /
অনুশীলনী 2.3
1. p(x) বহুপদটোক (p(x) বহুপদটোৰে হৰণ কৰা আৰু প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্রত ভাগফল আৰু ভাগ শেষ নিৰ্নয় কৰা :-
Answer :-
(i) p(x) = x³ - 3x² + 5x - 3 ,
g(x) = x² - 2
x - 3
x²-2 | x³ - 3x² + 5x - 3
| x³ - 2"
| (-) (+)
-3x² +7x -3
-3x² -6
+7x -9
: . q (x) = x - 3 ; r(x) = 7x - 9 /
(ii) (p) x = x⁴ - 3x² + 4x + 5 ,
Answer :-
g(x) = x² - 2
দিয়া আছে,
p(x) = x⁴ - 3x² + 4 x + 5 ,
=> x⁴ +0.x³ 3x² + 4x + 5
g(x) = x² + 1 - x
=> x² - x + 1
x² + x - 3
x² - x+1| x⁴ + 0.x³ - 3x² + 4x 5
| 4⁴ -x³ x²
|(-) (-) (-)
x³ - 4 x²+4x + 5
x³ - x² + x
(-) (+) (-)
-3x² 3x +5
- x² 3x -3
8
: . r (x) 8; q(x) = x² + x - 3 /
(iii) p(x) = x⁴ - 5x + 6 , g(n) = 2 - x²
Answer :-
=x² + 0.x³ + 0.x² - 5x + 6
g(x) = 2 - x²
= - x² + 2
-x² - 2
-x+2 | x⁴ + 0.x³ + 0.x² - 5 x + 6
| x⁴ - 2x²
(-) (+)
2x² - 5x + 6
2x² - 4
(-) (+)
- 5x + 10
: . q(x) = - x² - 2; r(x) = - 5x + 10 /
(iv) p(x) = 2x⁴ + 3x³ - 2x² - 9 x - 12
Answer :-
g(x) = x² - 3
x² + 3x
x² - 3 | 2x² + 3x³ - 2x² - 9x - 12
| 2x⁴ - 6x²
|(-) (+)
3x³ +4x² - 9x - 12
3x³ -9x
(-) (+)
4x² - 12
4x2 12
(-) (+)
0
: . q (x) = 2x² + 3x + 4
আৰু r (x) = 0 /
(v) (p) = x² + 3x² +10 , g(x) = x³ + 2
Answer :-
6 5 4 3 2
=> X + 0.x + 0.x + 0.x + 3x + 10
3
g(x) = x + 1
3
X - 1
2 | 6 5 4 3 2
X + 1 | x + 0.x + 0.x + 0.x + 3x + 10
| 6 3
| x x
|(-) (-)
3 2
-x + 3x + 10
3 2
-x 3x 1
(+) (+)
2
3x + 11
3
: . g(x) x - 1
2
আৰু r(x) = 3x + 11 /
5 4 3 2 3
(vi) p(x) = 2x - 5x + 7x + 4x - 10x + 11 ; g(x) x + 2
Answer :-
2
2x - 5x + 7
| 2x - 5x + 7
3 | 5 4 3 2
X + 2 | 2x - 5x + 7x + 4x - 10x + 11
| 5 2
| 2x 4x
| (-) (-)
-5x⁴ + 7x³ -10x + 11
-5x⁴ -10x
(+) (+)
7x³ +11
7x³ +14
(-) (-)
-3
: . q(x) = 2x² - 5x² - 5x ; r(x) = - 3 /
2. দ্বিতীয় বহুপদটোক প্ৰথম বহুপদটোৰে হৰণ কৰি প্রথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটো এটা উৎপাদক হয়নে নহয় পৰীক্ষা কৰা :-
(I) t² - 3 , 2t⁴ + 3t³ - 2t² - 9t - 12
Answer :-
g(x) = t² - 3
p(x) = 2t⁴ + 3t³ - 2t² - 9t² - 12
2t²
t² - 3 | 2t⁴ + 3t³ - 2t² - 9t - 12
| 2t⁴ - 6t²
|(-) (+)
3t³ + 4t²- 9t - 12
3t³ -9t
(-) (+)
4t² -12
4t² -12
(-) (+)
0
: . দ্বিতীয় বহুপদটো প্রথম বহুপদটোৰ উৎপাদক হয় /
(ii) x² + 3x + 1 , 3x⁴ + 5x³ - 7x² + 2x + 2
Answer :- p(x) = 3x⁴ + 5x³ - 7x² + 2x + 2
g(x) = x² + 3x + 1
3x² - 4x + 1
x² + 3x + 1 | 3x² + 5x³ - 7x² + 2x + 1
| 3x⁴ 9x³ 3x²
|(-) (-) (-)
-4x³ -10x² + 2x + 2
-4x³ -12x² - 4x
(+) (+) (+)
2x² + 6x + 2
2x² + 6x + 2
(-) (-) (-)
0
: . প্ৰথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটোৰ উৎপাদক হয় । /
3 5 3 2
(iii) x - 3x+ 1 , x -4x + x + 3x + 1
5 3 2
Answer :- p(x) = x - 4x + x + 3x + 1
5 4 3 2
= x + 0.x - 4x + x + 3x + 1
x² - 1
| 5 4 3 3
x³ - 3x + 1 | x + 0.x - 4x + x + 3x + 1
|
| 5 3 2
| x -3x + x
| (-) (-) (-)
-3³ + 3x + 1
-x³ + 3x - 1
(+) (-) (-)
2
: . প্রথম বহুপদটো দ্বিতীয় বহুপদটোৰ উৎপাদক হয় /
3x² + 6x
5 | 3x⁴ + 6x³ + 2x² - 10x - 5
x² - 3 | (-) (-)
5/ কেইটামান বহুপদ p(x) , q(x) আৰু r(x) ৰ উদাহৰণ দয়া যাতে ইহতে বিজ্ঞান কলন বিধি সিদ্ধ কৰে আৰু
(iii) x⁴ - 2x³ - 26x²+54x-27 বহুপদটোৰ দুটা শূন্য 3√3 আৰু
6x³ + 3x² - 10x - 5
6x3 - 10x
(-) (+)
3x² -5
3x² -5
(-) (+)
0
আকৌ 3x³ + 6x + 3
=> 3x² + 3x + 3x + 3
=> 3x(x+1) + 3(x+1)
=> (x+1) (3x+3)
: . x+1 = 0 | 3x + 3 = 0
=> x=-1 | => 3x - 3
| - 3
| => = - 1
3
: . বাকী আটাইবোৰ শূন্য কেইটা হ'ল - 1 আৰু 1 /
4/ x³ - 3x² + x + 2 ক এটা বহুপদ g(x) ৰে হৰণ কৰাত ভাগফল x-2 আৰু ভাগশেষ -2x + 4 পোৱাগ'ল। g(x) উলিওৱা ল
Answer :- দিয়া আছে
p(x) = x³ - 3x² + x + 2
q(x) = x - 2
r(x) - 2x+4
g(x) = ?
আমি জানো,
p(x) = g(g) × (x) + r (x)
=> x³ - 3x² + x + 2 = (x - 2) g(x) + (-2x+4)
=> x³ - 3x² + x + 2 = (x-2) g(x) -2x + 4
=> x³ - 3x² + x + 2 + 1 - 4 = (x-2) g(x)
=> x³ - 3x² + 3x - 2 = g(x) (x-2)
X³-3x²+3x-2
=> = g(x)
x-2
X-2 | x³-3x²+3x-2
| x³-2x²
|(-) (+)
-x² +2x-2
-x² +2x
(+) (-)
x-2
x-2
(-) (+)
0
=> x² - x + 1 = g(x)
: . (x) = x² - x + 1 /
5/ কেইটামান বহুপদ p(x) , q(x) আৰু r(x) ৰ উদাহৰণ দয়া যাতে ইহতে বিজ্ঞান কলন বিধি সিদ্ধ কৰে আৰু
(I) p(x) ৰ মাত্রা q(x) ৰ মাত্রা
Answer :-
ধৰাহল : p(x) =3x³ + 3
q(x) = x³ + 1
r(x) = 0
g(x) = 0
: . g(x) × q(x) + r(x)
=> 3x(x³+1) + 1
=> 3x³+3
=> p(x)
: . বিভাজনৰ কলন বিধি সিদ্ধা কৰে আৰু p(x) ৰ মাত্রা =q(x) ৰ মাত্রা /
(ii) q(x) ৰ মাত্রা = r(x) ৰ মাত্রা
Answer : -
ধৰাহল :
= 2x² + 1
q(x) = 2
g(x) = x²
গতিকে, g(x) q (x) + r (x)
=> x² ×2+1
=> 2x²+1
=> p(x)
: . বিভাজন কলনবিধি সিদ্ধ কৰিছে। আৰু q(x) ৰ মাত্রা = r(x) ৰ মাত্রা /
Answer : -
(iii) r(x) ৰ মাত্রা = 0
Answer : -
ধৰাহলp(x) 3x²+9
r(x) = 0
g(x) = x² + 3
q(x) = 3
: . g(x) q(x) +r(x)
=> (x²+3) 3+0
=> 3x²+9
=> p(x)
: . বিভাজনৰ কলন বিধি সিদ্ধ কৰিছে
: . r(x) ৰ মাত্রা = 0 /
6/ (i) 3x³ - x + 1 বহুপদটোৰ এটা শূণ্য 1 । ইয়াৰ বাকী কেইটা শূণ্য নিৰ্নয় কৰা।
Answer : - ইয়াত p(x) = 3x³ - x² - 3x + 1
এটা শূণ্য = 1
: . (X-1) বহুপদটোৰ এটা উৎপাদক হ'ব।
3x³ + 2x - 1
x-1 | 3x³ - x² - 3x - 1
| 3x³ - 3x²
| (-) (+)
2x² - 3x + 1
2x² - 2x
(-) (+)
-x + 1
-x + 1
(+) (-)
0
: . 3x³ - x² - 3x + 1 = (x-1) (3x² + 2x - 1) + 0
=> (x-1) (3x²+3x-x-1)
=> (x-1) (x+1) (3x-1)
যেতিয়া
x - 1 = 0 | বা | বা
=> x = 1 | x + 1 = 0 | 3x - 1 = 0
| => x = - 1 | 3x = 1
| => x=⅓
: . নিৰ্ণায়ক শূণ্য কেইটা = > -1, ⅓ 1 /
(ii) x⁴+x³-9x²-3+18 বহুপদটোৰ দুটা শূণ্য√3 আৰু -√3 ইয়াৰ বহুপদকেইটা শূণ্য নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- দিয়া আছে
p(x) x⁴+x³-9x²-3x+18
আৰু শূণ্য দুটা √3 আৰু - √3
: . (X-√3) (x+√3)
=> x² - (√3) ² => x² - 3 বহুপদটো উৎপাদক ।
x²+x
x²-3 | x⁴+x³ - 9x² - 3x + 18
| x⁴ - 3x²
|(-) (+)
x³ - 6x2 - 3x+ 18
x3 - 3x
(-) (+)
-6x² +18
-6x² +18
(+) (-)
0
: . x⁴+x³-9x²-3x+18 = (x² - 9) (x² - x - 6) + 0
=>(x² - 3) (x²+3x-2x-6)
=> (x² - 3) [x(x+3) - 2(x+3)]
=> (x² - 3) (x+3) (x-2)
| বা
যেতিয়া x² - 3 = 0 | বা | x - 2 = 0
=> x² = 3 | x + 3 = 0 | x = 2
=> x = √3 | => x = -3
: . নিৰ্ণেয় শূন্য কেইটা = -3, 2, √3, -√3 /
(iii) x⁴ - 2x³ - 26x²+54x-27 বহুপদটোৰ দুটা শূন্য 3√3 আৰু
-3√3 ইয়াৰ বাকীকেইটা শূন্য নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :-
p(x) = x⁴ - 2x³ - 26x² + 54x - 27
আৰু শূন্য দুটা 3√3 আৰু -3√3
: . (x-3√3) (x+3√3)
=> x² - (3√3) ²
=> x² - 9 × 3
=> x²-27, বহুপদটোৰ উৎপাদক ।
x² - 2x + 1
x- 27 | x⁴ - 2x³ - 26x² + 5x² - 27
| x⁴ -27x²
|(-) (+)
-2x³ + x² + 54x - 27
-2x³ + 54x
(+) (-)
x² -27
x² +27
(-) (-)
0
: . x⁴-2x³-26x²+54x-27 = (x²-27) (x² - 2x+1) +0
=> (x² - 27 (x²-2x+1)
=> x² - 27(x² - x + 1)
=> (x² - 27) (x-1) (x - 1)
যেতিয়া x² - 27 = 0
=> x= 27 | বা | বা
=> x = √27 | x - = 0 | x - = 0
=> x = √3×3×3 | x - 1 | => x = 1
=> 3√3
: . নিৰ্ণয় শূন্য কেইটা = 1,1, 3√3 - 3√3 /
7/ (i) 6x⁴ + 11x³ - 7x² - 15x - 50 ৰ বহুপদটোক আন এটা বহুপদ 3x+ 7 ৰে হৰন কৰাত ভাগশেষ - 15 পোৱা গ'ল। ভাগফল কি ?
Answer:-
p(x) = 6x⁴ + 11x³ - 7x² - 15x - 50
g(x) = 3x + 7 , r(x) = - 15 ; q (x) = ?
আমি যানো p(x) = g(x) × q(x) + r (x)
=> 6x⁴+11x³- 7x² - 15x - - 50 = (3x+7) ×q(x) +(-15)
6x⁴+11x³-7x²-15x-50+15
=> = q()
(3x+7)
6x⁴+11x³-7x²-15x-35
=> = q(x)
(3x+7)
2x³-x²-5
3x+7 | 6x⁴+11x³-7x²-15x-35
| 6x⁴+14x³
|(-) (-)
-13x³-7x²-15x-35
- 3x³ -7x²
(+) (+)
-15x-35
-15x-15
(+) (+)
0
: . q(x) = 2x³-x²-5 /
(ii) এটা বহুপদক x² - 2 ৰে ভাগ কৰাত ভাগফল আৰু ভাগশেষ ক্ৰমে 2x² + 5x - 2 আৰু - x + 14 পোৱা গ'ল 1 বহুপদটো নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- দিয়া আছে, r(x) = x + 14
q(x) = 2x² + 5x - 2
g(x) = x² - 2
p(x) = ?
আমি জানো
p(x) = g(x) × q(x) + x(x)
=> (3x² - 2) (2x² + 5x - 2) + (-x+14)
=> 2x⁴+5x³-2x²-4x²-10x+4-x+14
=> 2x⁴+5x³-6x²-11x+18 /
CLASS 10 METHS QUESTION ANSWER
1/ বাস্তু সংখ্যা
2/ বহুপদ
CLASS 10 ASSAMESE QUESTION ANSWER
১/ বৰগীত
২/ জিকিৰ আৰু জাৰী
ClASS 10 ENGLISH QUESTION ANSWER
1/ A Letter to God
2/ Nelson Mandela
CLASS 10 COCIAL SCIENCE
1/ বংগ বিভাজন আৰু স্বদেশী আন্দোলন
2/ মহাত্মা গান্ধী আৰু ভাৰতৰ স্বাধীনতা সংগ্রাম
