Class 10 বাস্তৱ সংখ্যা
* ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা :-
a = bq + r ; 0 < r < b
a = bq + r, 0 < r < b
a = ভাজ্য , b = ভাজক , q = ভাগফল, r = ভাগ শেষ
অনুশীলনী 1.1
1. ইউক্লিৰ কলনবিধি ব্যবহাৰ কৰি গ: সা: উ উলিওৱা -----
(i( 135 আৰু 225
Answer :- 225 > 135
=> 225 = 135 × 1 + 90
=> 135 = 90 × 1 + 45
=> 90 = 45 × 2 + 0
: . গ: সা: উ ( 135 আৰু 225 ) = 45 //
(ii) 196 আৰু 38220
Answer :- 38220 > 196
38220 = 196 × 196 + 0
(iii) 867 আৰু 255
Answer :-
867 = 255
=> 867 = 255 × 3 + 102
=> 255 = 102 × + 51
: . গ: সা: ঊ :- ( 867 আৰু 255) = 51
(iv) 272 আৰু 1032
1032 > 272
=> 1032 = 272 × 3 + 216
=> 272 = 216 × 1 + 56
=> 216 = 56 × 3 + 48
=> 56 = 48 × 1 + 8
=> 48 × 6 + 0
: . গ: সা: উ :- ( 272 আৰু 272 ) :-8
(v) 405 আৰু 2520
=> 2520 > 405
=> 2520 = 405 × 6 + 90
=> 405 = 90 × 4 + 45
=> 90 = 45 × 2 + 0
: . গ: সা: উ: ( 405 আৰু 2520) = 45 /
(vi) 155 আৰু 1385
=> 1385 > 155
=> 1385 = 155 × 145
=> 155 = 145 × 1 + 10
=> 145 = 10 × 14 + 5
=> 10 = 5 × 2 + 0
: . গ: সা: উ: (155 আৰু 1385) = 5/
(vii) 384 আৰু 1296
=> 1296 > 384
=> 1296 = 384 × 2 + 144
=> 384 = 144 × 2 + 96
=> 144 = 96 × + 48
=> 96 = 48 × 2 + 0
: . গ: সা: উ: - (384 আৰু 1296) = 48/
(viii) 1848 আৰু 4058
1848 > 4058
=> 4058 = 1848 × 2 + 362
=> 1848 = 362 × 5 + 38
=> 362 = 38 × 9 + 20
=> 38 = 20 × 1 + 18
=> 20 = 18 × 1 +2
=> 18 = 2 × 9 + 0
: . গ: সা: উ: - ( 1848 আৰু 4058) = 2 /
2. দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ন অখণ্ড সংখ্যাই 6 q + 1, বা 6 q + 3, বা 6q+ 5 আৰ্হৰ, য'ত এটা ঁকোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
উত্তৰ :- ধৰাহল a ৰ যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ন অখণ্ড সংখ্যা।
আৰু b = 6
: . ইউক্লিড ৰ কলনবিধি ৰ সহায়ত
a = bq + r, 0 < r
যত q কোনোৱা অখণ্ড সংখ্যা
: . r = 0, 1, 2, 3, 4, 5,
যদি r = 0
a = 6q + 0
= 6q (যোগ্ম)
r = 1, a = 6q + 1 ( অযুগ্ন)
r = 2, a = 6q + 2 ( যোগ্ন)
r = 3, a = 6q + 3 ( অযুগ্ন)
r = 4, a = 6q + 4 ( যোগ্ন)
r = 5, a = 6q + 5 ( অযুগ্ন)
: . গতিকে যিকোনো যোগাত্মক অযুগ্ন অখণ্ড সংখ্যাই 6q + 1 বা 6q + 3 বা 6q + 5 আৰ্হৰ।
3 . 616 সদস্যৰ এটা সৈন্য বাহিনীৰ গোট 32 জনীয়া এটা সেনাদলৰ পিছে পিছে কদম খোজ কাঢ়ি যাবলগীয়া হ'ল। দুয়োটা দলেই একে সমান সংখ্যক স্তম্ভত কদম - খোজ কাঢ়ি বলগীয়া হ'ল। তেওঁ লোকে খোজ কাঢ়ি বলগীয়া স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা কি হ'ব?
Answer :- ইয়াত 616 > 32
615 = 32 * 19 + 8
32 = 8 * 4 + 0
স্তম্ভৰ উচ্চতম সংখ্যা 8 //
4 . ইউকলডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যবহাৰ কৰি দেখুওৱা যে যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3m নাইবা 3 m + 1 আৰ্হিৰ, য'ত m এটা কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা। [ইংগিত: ধৰা x এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা। তেন্তে ইয়াৰ আৰ্হি হ'ব 3q, 3q + 1 বা 3q + 2 এতিয়া ইহঁতৰ প্ৰতিটোকে বৰ্গ কৰা আকু দেখুওৱা যে সিহঁতৰ 3m বা 3m + 1 আৰ্হত লিখিব পাৰি। ]
Answer :- ধৰাহল x এটা যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যা 1 আৰু b = 3
: . ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা মতে
=> X = 3 + q + r ; 0 < r < b 3 যত এটা অখণ্ড সংখ্যা।
: . r = 0, 1, 2,
যদি r = 0
=> X = 3q + 0
=> 39 --------> (i)
=> r = 2
: . X = 3q + 2 --------> (ii)
প্ৰথমে x ² = (3q) ²
=> 39 q²
=> 3 x 3q²
=> 3 m ( যত m = 3q² )
দ্বিতীয়তে (x)² = (3q + 1) ²
=> (3q) ² + 2 * 3q * 1 + 1²
=> 9q² + 6q + 1
=> 3(q2 + 2q) + 1
=> 3m + 1 (যত m = 3q² + 2q)
তৃতীয়তে
=> X² = (3q + 2)²
= > (3) ² + 2 * 3q * 2 b + 2²
=> 9q² + 1² + 4
=> 9q² + 12 + 3 + 1
=> 3 (3q2 + 4 q + 1 ) + 1 )
=> 3 m + 1 ( যত m = 3 q ² + 4 q + 1 )
: . যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ বৰ্গই হয় 3 m নাইবা 3 m + আৰ্হিৰ, য'ত কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
5 . ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা ব্যবহাৰ কৰি দেখুওৱা যে কোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘনফলটো 9m, 9m + 1 নাইবা 9m + 8 আৰ্হিৰ।
Answer :- ধৰাহল : - a --- যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা আৰু b = 3.
ইউক্লিডৰ বিভাজন প্ৰমেয়িকা মতে।
a = 3 q + r ; 0 > r < 3 যত b এটা যিকোনো অখণ্ড সংখ্যা
: . r = 0, 1, 2,
যদি, r = 0
: . a = 3 q ------ (i)
r = 1
: . a = 3 q + 1 ----- (ii)
r = 2
: . a = 3 q + 2 ------- (iii)
প্ৰথমত a = (3q) ³
= > 27 q³
=> 9 * 3 q³
দ্বিতীয়ত a³ = (3q + 1) ³
=> (3 q) ³ + 3 (3q) ² 1 + 3 * q (1) ² + 1³
=> 27q³ + 27 q² + 9q + 1
=> 9(3q³ + 3q² + q) + 1
=> 9m + 1 য'ত m = 3q³ + 3q² + q
তৃতীয়তে , q³ = (3q + 2 ) ³
=> (3q) ³ + 3 (3q) ² 2 + 3 * 3q * 2² + 2³
=> 27q³ + 27 + 54q² + 36q + 8
=> 9(3q³ + 6q² + 4q) + 8
=> 9m + 8 (য'ত m = 3q³ + 6q² + 4q
:. যিকোনো যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ ঘন ফলটো 9 m, 9 m + 1 নাইবা 9 m + 8 আৰ্হিৰ //
6 . হিমাদ্রিয়ে 625 টা ভাৰতীয় আৰু 325 টা আন্ত - ৰাষ্ট্ৰীয় ডাকটিকট সংগ্রহ কৰিলে। তাই এইবোৰ এক বিশেষ থূপত ৰাখি প্ৰদৰ্শন কৰিবলৈ বিচাৰে যাতে এটাও ডাকটিকট ৰৈ নাযায়। হিমাদ্রিয়ে সৰ্বাধিক কিমানটা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব ?
Answer : - 625 > 235
625 = 325 1 +300
325 = 25 × 12
: . সিমাদ্ৰিয়ে সৰ্বাধিক।
25 টা থূপত ডাকটিকটবোৰ প্ৰদৰ্শন কৰিব পাৰিব।
7 . দুডাল ৰছীৰ দৈৰ্ঘ্য ক্ৰমে 64 ছে. মি. আৰু 80 ছে. মি. দুয়োডালৰ পৰা সমান দৈৰ্ঘ্যৰ টুকুৰা কাটি উলিয়াব লাগে । অকণো ৰৈ নেযোৱাকৈ দুয়োডাল ৰছীৰ পৰা কাটি উলিয়াব পৰা তেনে টুকুৰাৰ সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য কিমান হ'ব ?
Answer : - ইয়াত 80 > 64
=> 64 * 1 + 16
=> 80 = 64 × 1 + 16
=> 64 = 16 × 4
: . গ : সা : উ : (80 আৰু 64)
= 16
: . টুকৰা সৰ্বাধিক দৈৰ্ঘ্য = 16 cm //
উদাহৰণ (2)
Answer : - ধৰাহল, a যিকোনো যোগাত্মক যুগ্ন অখণ্ড সংখ্যা আৰুb = 2 ইউক্লিডৰ কলন বিধিৰ ব্যবহাৰৰ সহায়ত।
a = 2q + r ; 0 < r < 2
a = 2q + 0 যদি r = 0 হয়।
= 2q
যদি a যোগাত্মক যোগ্ম সংখ্যা হয় তেন্তে 2 ৰে ভাগ যাব।
: . r = 0
: . a = 2 q
: . a = 2q যোগাত্মক যোগ্ম অখণ্ড সংখ্যা।
আকৌ , r = 1
: . a = 2q + 1
: . a = 2q + 1 যোগাত্মক অযুগ্ন সংখ্যা। যত a যিকোনো অযুগ্ন অখণ্ড সংখ্যা।
: . প্ৰত্যেক যোগাত্মক যুগ্ম অখণ্ড সংখ্যা 2q আৰ্হিৰ আৰু আৰু প্ৰত্যেক যোগাত্মক অযুগ্ন অখণ্ড সংখ্যা 2 q + 1 যত q কোনোবা অখণ্ড সংখ্যা।
উদাহৰণ (3)
Answer : - ধৰাহল, a এটা যোগাত্মক অযুগ্ন সংখ্যা। আৰু b = 4 ইউক্লিডৰ কলন বিধিমতে ,
a = bq + r যত 0 < r < b
: . b = 4
গতিকে 0 < < 4
যোগাত্মক ভাগশেষবোৰ 0, 1, 2, 3, অৰ্থাৎ a য়ে, 4q বা 4 বা 4 q 2 + 1, 4q + 2 , বা 4q + 3 হে হব পাৰে।
য'ত 2 ভাগফল।
: . a অযুগ্ন গতিকে a য়ে 4q বা 4 q + 2 হব নোৱাৰে কাৰন ইহঁত দুয়ো হৰে বিভাজ্য।
: . যিকোনো অযুগ্ন অখণ্ড সংখ্যা 4q + 1 বা 4 q + 3 আৰ্হিৰ।
অনুশীলনী 1.2
1/ প্ৰতিটো সংখ্যাকে ইয়াৰ মৌলিক উৎপাদক বোৰৰ গুণফল হিচাপে প্ৰকাশ কৰা :
(I) 140
Answer : - 2² × 5 × 7 /
2 | 70
5 | 35
7
(ii) 146
Answer : - 2 × 2 × 3 × 3
=> 2² × 3 × 13 /
2 | 78
3 | 13
(iii) 3825
=> 5 * 5 * 3 * 3 * 17 /
5 | 765
3 | 553
3 | 51
17
(iv) 5005
: . 5005
=> 5 × 7 × 11 × 13 /
7 | 1001
11 | 143
13
(v) 7429
=> 7429 = 17 × 19 × 25 /
19 | 437
25
437
62
51
119
119
0
2. তলৰ অখণ্ড সংখ্যা কেইযোৰৰ ল: সা: গু আৰু গ: সা: গু উলিওৱা সত্যাপন কৰা যে ল: সা: গু * গ: সা: উ: = সংখ্যাদুটাৰ গুণফল।
(I) 26 আৰু 91
Answer : - 26 = 2 × 13 ; 91 = 7 × 13
ল: সা: গু: 13 × 7 × 7 × 2
=> 182 /
13
13
সত্যাপন : -
ল: সা: গু: গ: সা: গু: = সংখ্যাদুটাৰ গুণফ
=> 13 × 182 = 26 × 91
=> 2366 = 2366 প্ৰমাণীত
*13
42
14
182
*13
546
182
2366
*26
546
182
2366
(ii) 510 আৰু 92
Answer : - 510 = 2 × 5 × 3 17
92 = 2 × 2 × 23
: . ল: সা: গু: 2 × 2 × 23 × 5 × 3 × 17
=> 23460
আৰু গ: সা: গু:
সত্যাপন : -
ল: সা: গু: × গ: সা: গু: সংখ্যা দুটাৰ গুনফল
=> 23460 × 2 = 510 × 92
=> 46929 = 46920 / প্ৰমাণীত
5 | 255
3 | 51
17
2 | 46
23
*23
180
120
1380
*17
9660
1386
23466
(iii) 336 আৰু 54
336 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 7
=> 54 = 2 × 3 × 3 × 3
: . গ: সা: গু = 2 * 3
=> 6 /
ল: সা: গু: => 2 × 3 × 2 × 2 × 2 × 7 × 3
=> 48 × 63
=> 3024
সত্যাপন : -
ল: সা: গু: × গ: সা: গু: = 3024 × 6
= 18144
এতিয়া, সংখ্যা দুটাৰ সফল গুনফল = 336 × 54
= 18144
: . ল: সা: উ: × গ: সা: উ: = সংখ্যা দুটাৰ গুনফল /
3 মৌলিক উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ অখণ্ড সংখ্যাবোৰৰ ল. সা. গু উলিওৱা ।
Answer :-
(i) 12 = 2 × 3 × 2
15 = 3 × 5
21 = 3 × 7
: . গ. সা. উ = 3
আবুল. সা. গু = 3 × 7 × 5 × 2 × 2
= > 21 × 20
=> 420 /
2 | 6
2
| 5
(ii) 17 , 23 আৰু 29
Answer : - 17 = 1 × 17
23 = 1 × 23
29 = 1 × 29
: . ল. সা. গু = 17 × 23 × 29
= 391 × 29
= 11439
আৰু গ. সা. গু= 1 )/
× 17
161
13
391
.png){kind=small}
=> 34 × 657
অনুশীলনী 1.3
1/ দেখুওৱা যে √5 অপৰিমেয়।
Answer : -
বিৰুদ্ধ ভাৱে। ধৰাহল√5 পৰিমেয় ।
: . √5 = a/b যত a আৰু b সহ মৌলিক সংখ্যা। b ≠ 0
=> (√5) ² (a/b) ² [ দুয়োফালে বৰ্গ কৰি ]
=> 5 = a²/b²
=> 5b² = a² ------(I)
: . a², 5
: . a², 5 ৰে বিভাজ্য।
গতিকে, a য়ো 5 ৰে বিভাজ্য
ধৰাহল a = 5 c যত c অখণ্ড সংখ্যা।
=> a² = (5c) ²
=> a² = 25c²
=> b² = 5c²
: . b² , 5 ৰে বিভাজ্য।
গতিকে b য়ো 5 ৰে বিভাজ্য ।
: . a আৰু b ৰ অন্তত এটা সাধাৰণ উৎপাদক 5 আছে।
কিন্তু ই a আৰু b ৰ সহ মৌলিকৰ ধৰ্মৰ বিৰুধ কৰে। অই বিৰুদ্ধ হৈছে কাৰণ আমি √5 ক পৰিমেয় বোলি ধৰি লৈছোঁ। গতিকে, আমি সিদ্ধান্ত পালে যে √5 অপৰিমেয় প্ৰমাণীত /
2 . দেখুৱা যে 3 + 2√5 অপৰিমেয়।
বিৰূদ্ধ ভাবে
ধৰাহল 3+2√5 পৰিমেয়।
: . 3 + 2 √5 = ab, যত a আৰু b সহ মৌলিক সংখ্যা b ≠ 0
=> 2√5 = a/b - 3
: . a, b, 3 আৰু 2 অখণ্ড সংখ্যা
5 পৰিমেয়।
কিন্তু ইয়ে √5 অপৰিমেয় এই সত্যৰ বিৰুধ কৰে।
: . আমি মিদ্বান্ত পালো যে 3 + 2 √5 অপৰিমেয় /
3 . দেখুওৱা যে তলৰ সংখ্যাবোৰ অপৰিমেয় :
(i) 1/√2
Answer : - বিৰুদ্ধ ভাবে ধৰাহল।
1/√2 পৰিমেয়।
: . = a/b য'ত a আৰু b সহ মৌলিক সংখ্যা, b≠0
=> √2 = b/a
: . b আৰু a অখণ্ড সংখ্যা
গতিকে b/a পৰিমেয়। একেদৰে √2 য়ো পৰিমেয় কিন্তু ইয়ে √2 য়ো পৰিমেয় ।
কিন্তু ইয়ে √2 অপৰিমেয় এই সত্যৰ বিৰুধ কৰে।
আমি সিদ্ধান্তত উপনিত হলো যে 1/√2 পৰিমেয় /
(ii) 7√5
Answer : -
বিৰুদ্ধ ভাৱে
ধৰাহল 7√5 পৰিমেয় ।
: . 7 √5 = a/b যত a আৰু b সহ মৌলিক সংখ্যাb ≠ 0
=> √5 = a/Babu .
: . a, b আৰু 7 অখণ্ড সংখ্যা গতিকে a/7b পৰিমেয় একেদৰে √5 য়ো পৰিমেয়।
কিন্তু√5 অপৰিমেয় এই সত্যতাৰ বিৰুধ কৰে।
: . আমি সিদ্ধান্তত উপনিত হলো যে 7√5 অপৰিমেয় /
(iii) 6√2
Answer : -
বিৰুদ্ধ ভাৱে
ধৰাহল 6√2 পৰিমেয় ।
: . 6√2 = a/b য'ত a আৰু b সহ মৌলিক সংখ্যা b≠0
=> √2 - a/b - 6
: . a, b আৰু b অখণ্ড সংখ্যা
পৰিমেয়।কিন্তু√2 পৰিমেয় সত্যতাৰ বিৰুদ্ধ কৰে ।
: . আমি সিদ্ধান্ত পালো যে 6 + √2 অপৰিমেয় /
অনুশীলনী 1.4
1/ দীৰ্ঘ হৰন নকৰাকৈ তলত উল্লেখ কৰা পৰিমেয় সংখ্যা বোৰৰ কোনবোৰৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত সাবধি নাইবা কোনবোৰৰ নিৰবধি পৌন: পুনিক: দশমিক বিস্তৃতি থাকিব বৰ্ণনা কৰা : -
.png)
আৰ্হিত আছে।
: . ইয়াত দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত (সাবধি) ।
: . নিৰবধি পৌন: পুনিক /
.png)
.png)
: . ইয়াত দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত /
.png)
.png){kind=small}
: . ইয়াৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত।
.png)
.png)
.png)
.png)
: . ইয়াৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্ত /
.png)
: . ইয়াৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্তি /
: . ইয়াৰ দশমিক বিস্তৃতি পৰিসমাপ্তি /
3 . তলৰ বাস্তৱ সংখ্যা বোৰৰ ইয়াত দেখুওৱা ধৰনে দশমিক বিস্তৃতি আছে। প্ৰতিটোৰ ক্ষেত্রতে ই এটা পৰিমেয় হয় নে নহয় সিদ্ধান্ত কৰা। যদি ই পৰিমেয় আৰু ই p/q আৰ্হিৰ তেন্তে ইয়াৰ । q ৰ মৌলিক উৎপাদকৰনৰ বিষয়ে কি ক'ব পাৰিবা?
Answer : -
(i) 43123456789...
ইই পৰিসমাপ্ত ( পৰিমেয়)
: . q ৰ মৌলিক উৎপাদকী কৰনকৰ 
আৰ্হিৰ নহয়।
(iii) 43123456789
Answer : - ই নিৰবধি পৌন: পুনিক: ।
ই 
আৰ্হিত নাথাকিব পাৰে।
CLASS 10 ASSAMESE QUESTION ANSWER
২/ জীকিৰ আৰু জাৰী
