দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ তৃতীয় অধ্যায় , দশম শ্ৰেণীৰ প্ৰশ্ন উত্তৰ
(Pair of Linear Equations in Two Variables Class 10 Question Answer)
অনুশীলনী 3.1
1Q. ৰহিমে জীয়েকক ক'লে, 'সাত বছৰ আগতে মোৰ বয়স তোমাৰ তেতিয়াৰ সাতগুণ আছিল। আকৌ আজিৰ পৰা তিনি বছৰ পিছত তুমি যিমান ডাঙৰ হ'বা মই তাৰ তিনিগুণ হ'ম। (এইটো আমোদজনক নহয়নে ?) এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয়ভাৱে আৰু জ্যামিতিকভাৱে (লৈখিকভাৱে) প্ৰদৰ্শন কৰা।
Answer :- ধৰাহল ৰহিমৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ জীয়েকৰ বৰ্তমান বয়স y বছৰ ।
প্ৰশ্ন মতে
x-7 = 7(y-7)
=> x-7 =7y - 49
=> x-7y = - 49 + 7
=> x - 7y = - 42 ----> (i)
আকৌ প্ৰশ্ন মতে
x + 3 = 3 (y + 3)
=> x + 3 = 3y + 9
=> x - 3y = 9 - 3
=> x - 3y = 6 --------> (ii)
: . সমীকৰণ (i) আৰু ( ii) হ'ল পৰিস্থিতিটোৰ বীজীয়ভাৱে প্ৰদৰ্শন।
জ্যামিতিকভাৱে প্ৰদৰ্শন
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা,
x - 7y = - 42
=> x = - 42 + 7y
| x | 0 | 7 |
| y | 6 | 7 |
| y | 6 | 7 |
Graph paper (1)
2Q. এই ক্ৰিকেট দলৰ প্ৰশিক্ষকে ৩ খন বেট আৰু ৬টা বল কিনে ৩৯০০ টকাত পিছত। তেওঁ ১৩০০ টকাত একেধৰণৰ এখন বেট আৰু ৩টা বল কিনে । এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয় আৰু লৈখিকভাৱে (জ্যামিতিকভাৱে) বৰ্ণনা কৰা ।
Answer :- ধৰাহল, এখন বেচৰ দাম = x টকা
আৰু এখন বলৰ দাম = x টকা
প্ৰথমতে, 3x+6y = 3900 ------> (i)
আকৌ, x+3 = 130 -----> (ii)
: . সমীকৰণ (i) আৰু (ii) হ'ল পৰিস্থিতিটোৰ বীজীয়ভাৱে প্ৰদৰ্শন।
জ্যামিতিকভাৱে প্ৰদৰ্শন : -
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা,
3x+6y = 3900
=> 3(x+y) = 3900
1 300
3900
=> x+24 =
=> x+24 =
3
1
=> x+2y=1300
=> 1300 - 2y
| A B |
| x | 700 | 300 |
| y | 300 | 500 |
সমীকৰণ(ii) ৰ পৰা,
x+3y = 1300
=> x = 1300 - 3y
P Q
| 100 | 300 |
| 100 | 300 |
| 400 | 500 |
লেখ পেপাৰ => (2)
AB য়েই সমীকৰণ (i) ৰ নিৰ্ণেয় লেখ আৰু PQ য়েই সমীকৰণ(ii) ৰ নিৰ্ণেয় লেখ ।
3Q. দুই কে. জি. আপেল আৰু ১ কে. জি. আঙুৰৰ দাম এদিন আছিল ১৬০ টকা। এমাহৰ পিছত ৪ কে. জি. আপেল আৰু ২ কে. জি আঙুৰৰ দাম হ'ল ৩০০ টকা। এই পৰিস্থিতিটোক বীজীয়ভাৱে আৰু লৈখিকভাৱে বৰ্ণনা কৰা।
Answer :- ধৰাহল1 কে, জি, আপেলৰ দাম = x টকা । 1 কে, জি, আঙুৰৰ দামy টকা।
প্ৰশ্ন মতে, 2x + y = 160 -----> (i)
4x+2y = 300 -------> (ii)
: . সমীকৰণ (i) আৰু (ii) হল পৰিস্থিতিটোৰ বীজীয়ভাৱে প্ৰদৰ্শন
জাগতিক ভাৱে প্ৰদৰ্শন :-
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা 2x+y = 160
=> y = 160 - 2x
A B
| X | 60 | 40 |
| X | 60 | 40 |
| Y | 40 | 80 |
সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা 4x + 2y = 300
=> 2(2x+y) = 300
300
=> 2x + y =
2
=> 2x + y =
=> 2x+ y = 150
=> y = 15 - 2x
P Q
| x | 50 | 40 |
| y | 50 | 70 |
গ্রাফ পেপাৰত ------> (3)
অনুশীলনী 3.2
1Q. তলৰ সমস্যা বোৰত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু লৈখিক ভাৱে সেইবোৰৰ সমাধান উলিওৱা।
(i) এটা গণিত কুইজত দশম শ্ৰেণীৰ 10 জন ছাত্র-ছাত্ৰীয়ে অংশ গ্রহণ কৰিছিল। যদি ছাত্রতকৈ ছাত্রীৰ 4 সংখ্যা বেছি, , তেন্তে অংশ গ্রহন কৰা ছাত্র আৰু ছাত্রীৰ সংখ্যা উলিওৱা।
Answer :-
ধৰাহল ছাত্রৰ সংখ্যা x
ছাত্রী ৰ সংখ্যা y
প্ৰশ্ন মতে x+y = 10 -------->(i)
x+4 = y --------> (ii)
: . সমীকৰণ (i) আৰু (ii) হল নিৰ্ণেয় ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ ।
এতিয়া :
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা x+4 = 4
P Q
| x | 4 | 5 |
| y | 0 | 1 |
| x | 4 | 5 |
| y | 0 | 1 |
: . ৰেখা দুডাল m (7, 3) বিন্দুত কটা কটি কৰিছে।
: . ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ সমাধান হ'ল x = 3 আৰু y = 3
গতিকে, ছাত্রৰ সংখ্যা= 7 আৰু ছাত্রীৰ সংখ্যা 3 /
(ii) 5 ডাল পেন্সিল আৰু 7 টা পেনৰ দাম একেলগে 50 টকা আৰু 7 ডাল পেন্সিল আৰু 5 টা পেনৰ দাম একেলগে 46 টকা এটা পেন্সিল আৰু এডাল পেনৰ দাম উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল এডাল পেন্সিলৰ দাম x টকা
আৰু এটা পেনৰ দাম y টকা ল।
প্ৰশ্ন মতে
5x + 7y = 50 --------> (i)
আকৌ 7x + 5y --------(ii)
: . সমীকৰণ (i) আৰু (ii) হল নিৰ্ণয় ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ।
এতিয়া সমীকৰণ (i) ৰ পৰা 5x +7y 50
5x = 50 - 7y
50 - 7y
=> x =
5
=> x =
5
A B
| x | 10 | 3 |
| y | 0 | 5 |
সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা 7x + 5y = 46
=> 7x = 46 - 5y
46 - 5y
=> x =
7
=> x =
7
P Q
| x | 3 | 8 |
| y | 5 | -2|
: . ৰেখা দুডাল (3, 5) বিন্দুত কটা কটি কৰিছে।
: . ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ সমাধান হ'ল x = 3 আৰু y = 5 গতিকে, এডাল, পেন্সিলৰ দাম = 3 টকা । আৰু এটা পেনৰ দাম 5 টকা /
: . ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ সমাধান হ'ল x = 3 আৰু y = 5 গতিকে, এডাল, পেন্সিলৰ দাম = 3 টকা । আৰু এটা পেনৰ দাম 5 টকা /
a b c
¹ ¹ ¹
Q. 2 . , আৰু অনুপাত কেইটা ৰিজাই তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ কেইটা বুজোৱা
¹ ¹ ¹
Q. 2 .
a b c
² ² ²
² ² ²
ৰেখা দুটাই এটা বিন্দুত কাটিব , সমান্তৰাল হ'ব নে লগালগ হ'ব তাক নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer : -
(i) 5x - 4y + 8 = 0
7x + 6y - 9 = 0
ইয়াত
a 5
¹
=> =
a 7
²
b - 4
¹
=> =
b - 6
²
a b
¹ ¹
: . ≠
a b
² ²
: . ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ কেইটাই বুজোৱা ৰেখা দুটাইএটা বিন্দুত কাটিব /
Q.(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
Answer :-
1
a 9
¹
ইয়াত = = ½
a 18
² 2
1
b 3
¹
=> = = ½
b 6
² 2
1
b 12
¹
=> = = ½
b 24
² 2
a b c
¹ ¹ ¹
=> = =
a b c
² ² ²
ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ কেইটাই বুজোৱা ৰেখা দুটাই মিলু যাব /
Q. (iii) 6x - 3y + 10 = 0
2x - y + 9 = 0
Answer : - ইয়াত ধৰাহল
a 3
¹ 6
=> = = 3
a 1
² 1
b
¹ - 3
=> = = 3
b - 1
²
c
¹ 10
=> =
c 9
²
a b c
¹ ¹ ¹
: . = ≠
a b c
² ² ²
ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ টোয়ে বুজোৱা ৰেখা দুটাই সমান্তৰাল হব /
a b c
¹ ¹ ¹
3Q. , আৰু
a b c
² ² ²
অনুপাতকেইটা ৰিজাই নিৰ্ণয় কৰা তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ কেইটা সংগত নে অসংগত
(i) 3x + 2y = 5 , 2x - 3y = 7
Answer : -
a
¹ 3
a 2
²
b
¹ 2
b - 3
²
a b
¹ ¹
: . ≠
a b
² ²
ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ সংগত /
(ii) 2x - 3y = 8 ; 4x - 6y = 9
Answer :-
a
¹ 2 1
a 4 2
² 2
b 1
¹ - 3 1
b - 6 2
² 2
c
¹ 8
c 9
²
a b c
¹ ¹ ¹
: . = ≠
a b c
² ² ²
: . ই অ সংগত /
3 5
(iii) x + y = 7; 9x - 10y = 14
2 3
Answer : - ইয়াত
a ³ 1
¹ 2 3 1
a 9 2 × 9 6
² 5
b 1
¹ 5 8 1
b 3 × (-10) - 30 6
² 6
: . ই সংগত /
(iv) 5x - 3y = 11 ; - 10x + 6y = 22
Answer :-
ইয়াত
a 1
¹ 5 1
a 10 2
² 2
b 1
¹ 3 1
b 6 2
² 2
a 1
¹ 11 1
a 22 2
² 2
a b c
¹ ¹ ¹
: . = =
a b c
² ² ²
: . ই সংগত /
4
(v) x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
4
Answer :- ইয়াত
a 4 2
¹ ¹ 4 2
a 2×3 6 3
² 3
b
¹ 2
b 3
²
c 2
¹ 8 2
c 12 3
² 3
a b c
¹ ¹ ¹
: . = =
a b c
² ² ²
: . ই সংগত /
4Q. তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণৰ কোন যোৰ সংগত/অ সংগত ? যদি সংগত ; লেখৰ সহায়ত সমাধান উলিওৱা ।
(i) x + y = 5 ; 2x + 2y = 10
Answer :-
a
¹ 1
a 2
²
b
¹ 1
b 2
²
c 1
¹ 5 1
c 10 2
² 2
a b c
¹ ¹ ¹
: . = =
a b c
² ² ²
: . ই সংগত
এতিয়া
x + y = 5
=> x = 5 - y
A B
| x | 2 | 0 |
| y | 3 | 5 |
আকৌ
2x + 2y = 10
=> 2y = 10 - 2x
10 - 2x
=> y
2
A B
| x | 1 | 3 |
| y | 4 | 2 |
আমি দেখিলো যে এই দুয়োটা ৰেখা সম্পূর্ণ মিলি গৈছে । গতিকে উক্ত সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে /
(ii) x - y = 8 ; 3x - 3y = 16
Answer :- ইয়াত
a
¹ 1
a 3
²
b
¹ - 1 1
b - 3 3
²
c
¹ 18
c 16
²
a b c
¹ ¹ ¹
: . = ≠
a b c
² ² ²
: . ই অসংগত /
(iii) 2x + y - 6 = 0 ; 4x - 2y - 4 = 0
Answer :-
a 1
¹ 2 1
a 4 2
² 2
b
¹ 1 - 1
b -2 2
²
a b
¹ ¹
: . ≠
a b
² ²
: . ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ সমাধান সংগত
এতিয়া
2x + y - 6 = 0
=> y = 6 - 2x
A B
| x | 0 | 2 |
| y | 6 | 2 |
আকৌ
4x - 2y - 4 = 0
=> 2(2x - y - 2) = 0
0
=> 2x - y -2 =
2
=> 2x - y - 2 = 0
=> 2x - 2 = y
P Q
| x | 2 | 1 |
| y | 2 | 0 |
স্কেল :-
x অক্ষত 10 টা সৰু বৰ্গ = 1 একক y - অক্ষত 10 টাসৰৰু বৰ্গ = একক ।
l4.3.PNG)
ৰেখা দুডাল (2, 2) বিন্দুত কটা কটি কৰিছে। গতিকে সমীকৰণ যোৰৰ সমাধান হ'ল
x = 2 আৰু y = 2 /
(iv) 2x - 2y - 2 = 0 ; 4x - 4y - 5 = 0
Answer :- ইয়াত
a 1
¹ 2 1
a 4 2
² 2
b 2
¹ - 2 1
b - 4 2
²
c
¹ - 2 2
c - 5 5
²
a b c
¹ ¹ ¹
: . = ≠
a b c
² ² ²
: . ই অসংগত /
5. এখন আয়তাকাৰ বাগিছাৰ প্ৰস্থতকৈ দিঘ 4 মিটাৰ বেছি। ইয়াৰ পৰিসীমাৰ আধা 36 মিটাৰ । বাগিছা খনৰ দিঘ, প্ৰস্থ নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer : - ধৰাহল আয়তাকাৰ বাগিছাৰ
দীঘ = মি :
প্ৰস্থ = মি :
প্রশ্ন মতে,
x = y + 4
=> x - y = 4 ------> (i)
আকৌ,
1
2
1
2
= x + y = 36 ------> (i)
সমীকৰণ :- (i) + (ii) = (x - y) + (x +y) = 4 + 36
=> x - y + x + y = 40
=> 2x = 40
20
=> x =
1
=> x = 20
এতিয়া , x ৰ মান (i) নং মমীকৰনত বহুৱাই পাওঁ, -
x - y = 4
=> 20 - y = 4
=> - 4 = 4 - 20
=> - y = 4 - 20
=> - y = - 16
=> = 16
: . দিঘ = x 20 m
প্ৰস্থ = y = 16m //
6. 2x + 3y - 8 = 0 ৰৈখিক সমীকৰণ টো দিয়া আছে । দুটা চলকত অইন এটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ নিৰ্ণয় কৰা যাতে এই দৰে গঠন হোৱা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ টোৰ জ্যামিতিক প্ৰদৰ্শনটো হ'ব :-
(i) কটা কটি ৰেখা । (ii) সমান্তৰাল ৰেখা । (iii) মিলি যোৱা ৰেখা ।
Answer : - দিয়া আছে,
2x + 3y - 8 = 0
(i) কটা কটি ৰেখা,
a b
¹ ¹
a b
² ²
আনটো ৰৈখিক সমীকৰণ উদাহৰণ হ'ল -
3x + 4y - 6 = 0
(ii) সমান্তৰাল ৰেখা,
a b c
¹ ¹ ¹
a b c
² ² ²
দিয়া আছে 2x + 3y - 8 = 0
: . আনটো সমীকৰণ, 4x + 6y - 3 = 0 /
(iii) মিলি যোৱা ৰেখা,
a b c
¹ ¹ ¹
a b c
² ² ²
দিয়া আছে, 2x + 3y - 8 = 0
: . আনটো সমীকৰণ 4x + 6y - 16 = 0 /
7. x - y + 1 = 0 ; 3x + 2y - 12 = 0 সমীকৰণ দুটাৰ লেখ অংকন কৰা । এই ৰেখা দুটাই x অক্ষৰ লগত কৰা ত্ৰিভূজটোৰ শীৰ্ষবিন্দু কেইটাৰ স্থানাংক উলিওৱা । ত্ৰিভূজীয় ক্ষেত্রটো প্ৰচ্ছাদিত কৰা ।
Answer :-
x - y + 1 = 0 ----------> (i)
3x + 2y - 12 = 0 -------> (ii)
: . সমীকৰণ (i) ৰ পৰা
x - y + 1 = 0
=> x = y - 1
A B
| x | 2 | 0 |
| y | 3 | 1 |
আৰু সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা
3x + 2y - 12 = 0
=> 2y = 12 - 3x
12 - 3x
=> y =
2
P Q
| x | 0 | 2 |
| y | 6 | 3 |
স্কেল:-
x - অক্ষত 10 টা সৰু বৰ্গ= 1 একক ।
y - অক্ষত 10 টা সৰু বৰ্গ = 1 একক ।
AB আৰু PQ য়েই সমীকৰণ(i) আৰু (ii) ৰ নিৰ্ণেয় লেখ ।
দেখা গ'ল যে, AB আৰু PQ ৰেখা ডালে x অক্ষৰ ওপৰত ত্ৰিভূজ AMN ৰ গঠন কৰিছে ।
: . ত্ৰিভূজটোৰ শীৰ্ষবিন্দু কেইটা হ'ল ---
A(2, 3) M(1, 0) N(4, 0)
অনুশীলনী 3.3
1. প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰবোৰ সমাধা কৰা :
(I) x + y = 14
x - y = 4
Answer : -
x + y = 14 ------------> (i)
x - y = 4 -------------> (ii)
(i) y = 14 - x ---------> (iii)
y ৰ মান (ii) নংত বহুৱাই
x - (14 - x) = 4
=> x - (14 - x) = 4
=> x - 14 + x = 4
=> 2x - 4 = 14 + 14
=> 2x = 18
=> x = 9
x ৰ মান (iii) নংত বহুৱাই
y = 14 - x
=> 14 - 9
=> 5
: . x = 9
y = 5 /
(ii) s - t = 3
s t
3 2
Answer :-
s - t = 3 ----------> (i)
s t
3 2
2s + 3t
= = 6
6
=> 2s + 3t = 36 ---------> (ii)
(i) s = 3 + t --------> (iii)
(ii) নং ৰ মান (ii) নংত বহুৱাই
2 (3 +t) + 3k = 36
=> 6 + 2k + 3t = 36
=> 6 + 5t = 36
5t = 30
=> t = 6
: . t ৰ মান (ii) নংত বহুৱাই
s = 3 + t
=> 3 + 6
=> 9
: . s = 9
t = 6 /
(iii) 3x - y = 3
9x - 3y = 9
Answer :-
3x - y = 3 -------> (i)
9x - 3y = 9
=> 3 (3x - y) = 3 × 3
=> 3x - y = 3 -------> (ii)
যিহেতু সমীকৰণ (i) আৰু (ii) টো একেই
: . উক্ত সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান থাকিব /
(iv) 0.2x + 0.3y = 1.3
0.4x + 0.5y = 2.3
Answer :-
0.2x + 0.3y = 1.3
=> 2x + 3y = 13 ----------> (i)
0.4x + 0.5y = 2.3
=> 4x + 5y = 23 -----------(ii)
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা
2x = 13 - 3y
13 - 3y
2x = ---------(iii)
2
x ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই, পাওঁ
2
=> + 5y = 23
=> 26 - 6y + 5y = 23
= - y = 23 - 26
=> - y = - 3
=> y = 3
y ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই পাওঁ
2
13 - 3×9 4
=> x = =
2 2
=> x = 2
গতিকে সমাধান হ'ল x = 2 আৰু y = 3 /
(v) √2x + √3y = 0
√3x - √8y = 0
Answer :-
√2x + √3y = 0 -----------> (i)
√3x - √8y = 0 ------------> (ii)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা
√2x = - √3y
- √3
=> x = --------(iii)
√2
x ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই, পাওঁ
-√3y
√3 ( ) - √8y = 0
√2
- 3y
= √3 - √8y = 0
√2
- 3y - 4y
= √3 = 0
√2
=> - 7y = 0
0
=> y
- 7
=> y = 0
y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই, পাওঁ
- √3 × 0
x =
√2
=> x = 0
গতিকে সমাধান টো হ'ল
x = 0 আৰু y = 0 /
3x 5y
(vi) - = - 2
2 3
x y 13
3 2 6
Answer :-
3x 5y
2 3
3 3x 5y
=> 6 × - 6 × = - 2 × 6
=> 9x - 10y = - 12 -----------> (i)
x y 13
3 2 6
2 x 3 y
=> 6 × + 6 × × 6
=> 2x + 3y = 13 ----------(ii)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা -----
9x = - 12 + 10y
- 12 + 10y
=> x = ---------> (iii)
9
x ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই, পাওঁ
2(- 12 + 10y)
=> + 3y = 13
9
- 24 + 20y
=> + 3y = 13
9
- 24 + 20y + 27y
=> = 13
9
=> - 24 + 47y = 13 × 9
=> 47y = 117 + 24
3
=> y
=> y = 3
y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই পাওঁ
- 12 + 10×3
=>x
9
9
=>x = 2
গতিকে সমাধান টো হ'ল x = 2 আৰু y = 3 /
2. 2x + 3y = 11 আৰু 2x - 4y = - 4y = - 24 ক সমাধান কৰা । ইয়াৰ পৰা 'm' ৰ মান উলিওৱা যাতে y = mx + 3 ।
Answer : -
2x + 3y = 11 -----------> (i)
2x - 4y = - 24 ---------> (ii)
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা ----
2x = 11 - 3y
11 - 3y
=> x --------> (iii)
2
x ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই পাওঁ -----
(11 - 3y)
=> 2 - 4y = - 24
=> 11 - 3y - 4y = - 24
=> - 7y = - 24 - 11
=> - 7y = -35
5
y =
y = 5
y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত, বহুৱাই পাওঁ-----
11 - 3 × 5
x =
2
11 - 15
=
2
2
- 4
= = - 2
সমীকৰণটো হ'ল = - 2 আৰু y = 5 /
এতিয়া
x আৰু y = mx + 3 ত বহুৱাই পাওঁ ---
y = mx + 3
=> 5 = mx + 3
=> 5 = m×(-2) + 3
=> 5 - 3 = - 2m
1
= = m
- 2
=> m = - 1 /
3. তলৰ সমস্যা বোৰৰ ক্ষেত্রত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা ।
(i) দুটা সংখ্যাৰ পাৰ্থক্য 26 । এটা সংখ্যা আনটোৰ তিনিগুণ হ'লে সংখ্যা দুটা উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল সংখ্যা দুটা x আৰু y ।
প্ৰশ্ন মতে x - y = 26 -------> (i)
আকৌ, x = 3y -------(ii)
x ৰ মান সমীকৰণ(i) ত, বহুৱাই আমি পাওঁ ----
3y - y = 26
=> 2y = = 26
13
=> y =
y ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই, আমি পাওঁ ----
x = 3×13
=> x = 39
: . সংখ্যা দুটা হ'ল 13 আৰু 39 /
(ii) দুটা সম্পূৰক (supplementary) কোণৰ ডাঙৰটো সৰুটোতকৈ 18 ডিগ্রী বেছি । কোণ দুটা নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- ধৰাহল, ডাঙৰ কোনটো x আৰু সৰু y
প্ৰশ্ন মতে,
x + y = 180° --------> (i)
আকৌ, x = y + 18
=> x - y = 18 --------> (ii)
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা ----
x = 180° - y ----------> (iii)
x ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ -----
180° - y - y = 18°
=> - 2y = 18° 180°
=> - 2y = - 162
81
=> y = 81°
y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ ----
x = 180° - 81°
=> x = 99°
: . কোণ 99° আৰু 81° /
(iii) এটা ক্ৰিকেট দলৰ প্ৰশিক্ষকজনে 7 খন বেট আৰু 6 টা বল কিনে 3800 টকাত । পিছত তেওঁ 3 খন বেট আৰু 5 টা বল কিনে 1750 টকাত । প্ৰতিখন বেট আৰু প্ৰতিটো বলৰ দাম উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল প্ৰতি খন বেট দাম x টকা । আৰু প্ৰতিটো বলৰ দাম y টকা ।
প্ৰশ্ন মতে
7x + 6y = 3800 -------> (i)
আকৌ, 3x + 5y = 1750 -------(i)
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা ----
7x = 3800 - 6y
3800 - 6y
=> ----------(iii)
7
x ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ----
(3800 - 6y)
=> 3 + 5y = 1750
7
11400 - 18y
=> + 5y = 1750
7
11400 - 18y + 35
=> + 5y = 1750
7
=> 11400 + 17y = 1750 × 7
=> 17y = 12250 - 11400
50
=> y = 50
y ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ:-
3800 - 6×50
=> x =
7
3800 - 300
=> x =
7
500
=> x = = 500
: . প্ৰতি খন বেটৰ দাম 500 টকা ।
প্ৰতিটো বলৰ দাম 50 টকা /
(iv) এখন চহৰৰ ট্যাক্সি ভাড়াত এটা নিৰ্দিষ্ট ভাড়াৰ লগত অতিক্রম কৰা দূৰত্বৰ ভাড়াটো লগলাগি থাকে । 10 কি: মি: দূৰত্বৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 105 টকা আৰু 15 শন কি: মি: ভ্ৰমণ এটাৰ বাবে দিবলগীয়া ভাড়া 155 টকা। নিৰ্দিষ্ট আৰু প্ৰতি কি: মি: ভ্ৰমণ এটাৰ ভাড়া কিমান? 25 কি: মি: দূৰত্ব ভ্ৰমণ কৰিবলগীয়া মানুহ এজনে ভাড়া কিমান দিবলগীয়া হ'ব ?
Answer : - ধৰাহল, নিৰ্দিষ্ট ভাড় = x টকা । আৰু প্ৰতি কি, মি, ৰ ভাড়া= y টকা।
x + 10y = 105 -------> (i)
আকৌ, x + 15y = 155 --------> (ii)
x ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই, আমি পাওঁ----
105 = 10y + 15y - 155
=> 5y = 155 - 105
10
=> = = 10
y ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ----
x = 105 - 10×10
=> x - 105 - 100
=> x = 5
: . নিৰ্দিষ্ট ভাড় = 5 টকা আৰু প্ৰতি কি, মি, ৰ ভাড়া
= 5 + 25 × 10
=> 5 + 250
=> 255 টকা /
9
(v) এটা ভগ্নাংশত যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 2 যোগ কৰা হয় তেন্তে ভগ্নাংশটো হয়
11
5
যদি লব আৰু হৰ উভয়তে 3 যোগ কৰা হয়, তেন্তে ভগ্নাংশটো হয়
6
ভগ্নাংশটো উলিওৱা ।
Answer:- ধৰাহল, ভগ্নাংশ টো হ'ল
x
=
y
প্ৰশ্ন মতে,
x + 2 9
y + 2 11
=> 11(x +2) = 9(y+2)
=> 11x + 22 = 9y + 18
=> 11x - 9y = - 22
=> 11x - 9y = - 4 --------> (i)
আকৌ,
x + 3 5
y + 3 6
=> 6(x +3) = 5(y+3)
=> 6x + 18 = 5y + 15
=> 6x - 5y = - 18
=> 6x - 5y = - 3 --------> (ii)
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা ----
11x = - 4 + 9y
- 4 + 9y
=> x = -------> (iii)
11
x ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ------
6( - 4 + 9y)
11
- 24 + 54y
=> = - 5y = - 3
11
- 24 + 54y - 55y
=> = - 3
11
=> - 24 - y = - 33
=> - y = - 33 + 24
=> - y = - 9
=> y = 9
y ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ------
- 4 + 9×9
x =
11
7
- 4 + 77 77
=> x = = = 7
11 11
7
: . ভগ্নাংশ টো হ'ল =
9 /
(vi) . আজিৰ পৰা পাঁচ বছৰ পিছত জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্রতকৈ তিনিগুণ হ'ব । পাঁচ বছৰ আগতে জেকবৰ বয়স তেওঁৰ পুত্রতকৈ সাত গুণ আছিল । তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স কিমান ?
Answer :- ধৰাহল, জেকবৰ বৰ্তমান বয়স= x আৰু তেওঁৰ পুত্রৰ বৰ্তমান বয়স = y
: . 5 বছর পিছত, জেকবৰ বয়স x + 5
তেওঁৰ পুত্রৰ বয়স = y + 5
প্ৰশ্ন মতে, x + 5 = 3(y+5)
=> x + 5 = 3y + 15
=> x - 3y = 15 - 5
=> x - 3y = 10 ---------> (i)
5 বছৰ আগতে, জেকবৰ বয়স= x - 5
তেওঁৰ পুত্রৰ বয়স = y - 5
প্ৰশ্ন মতে, x - 5 = 7(y - 5)
=> x - 5 = 7y - 35
=> x - 7y = - 35 + 5
=> x - 7y = - 30 ----------> (ii)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা---
x = 10 + 3y ---------> (iii)
x ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-----
=> 10 + 3y - 7y = - 30
=> - 4y = - 30 - 10
=> - 4y = - 40
10
=> = 10
y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই, আমি পাওঁ---
x = 10 + 3 × 10
=> x = 10 + 30 = 40
: . জেকবৰ বৰ্তমান বয়স = 40 বছৰ ।
: . আৰু তেওঁৰ পুত্রৰ বৰ্তমান বয়স = 10 বছক /
অনুশীলনী 3.4
1. তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ কেইযোৰ অপনয়ন পদ্ধতিৰে সমাধা কৰা :
(i) x + y = 5 আৰু 2x - 3y = 4
Answer :-
অপনয়ন পদ্ধতি :-
x + y = --------> (i)
2x - 3y = 4 --------> (ii)
(i) × 2 => 2x + 2y = 10
(ii) ×1 => 2x - 3y = 4
(-) (+) (-)
5y = 6
6
=> y =
5
: . y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ------
6
x + = 5
5
6
=> x = 5 -
5
25 - 6
=> x
5
19
=
5
গতিকে, সমাধান টো হ'ল
19 6
x আৰু y = /
5 5
প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি :-
x + y = 5 -------> (i)
2x - 3y = 4 ------(ii)
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা ---
x = 5 - y
x ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই পাওঁ -----
2(5-y) - 3y = 4
=> 10 - 2y - 3y = 4
=> - 5y = 4 - 10
=> - 5y = - 6
6
=> y =
5
y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই পাওঁ---
6
x = 5 -
5
25 - 6
5
19
=
5
গতিকে সমাধান টো হ'ল
19
x =
5
আৰু
6
y =
5 /
(ii) 3x + 4y = 10 আৰু 2x - 2y - 2y = 3
Answer =>
3x + 4y = 10 --------> (i)
2x - 2y - 2y = 3 -----(ii)
(i)× 2 => 6x + 8y = 20
(ii) × 3 => 6x - 6y = 6
(-) (+) (-)
14y = 14
1
=> y =
y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই পাওঁ---
3x + 4×1 = 10
=> 3x + 4 = 10
=> 3x = 10 - 4
2
=> x = = 2
গতিকে, সমাধান টো হ'ল x = 2 আৰু y = 1 /
প্ৰতিষ্ঠাপন পদ্ধতি :-
3x + 4y = 10 -----> (i)
3x = 2y - 2 ------> (ii)
সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা ----
2x = 2 + 2y
=> 2x = 2(1+y)
= x = 1 + y ------> (iii)
: . x মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ----
=> 3(1+y) + 4y = 10
=> 3+3y+4y = 10
=> 7y = 10 - 3
=> y = = 1
: . y ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই পাওঁ
x = 1 + 1 = 2
গতিকে সমাধান টো হ'ল
x = 2 আৰু y = 1 /
(iii) 3x - 5y - 4 = 0 আৰু 9x = 2y + 7
Answer :- অপনয়ন পদ্ধতি :-
3x - 5y = 4 -------> (i)
9x - 2y = 7 --------> (ii)
(i) × 3 => 9x - 15y = 12
(ii) × 3 => 9x - 2y = 7
(-) (+) (-)
- 13y = 5
-5
=> y =
13
y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই পাওঁ ----
-15
3x - 5( ) = 4
13
25
=> 3x + 5( ) = 4
13
25
=> 3x = 4 -
13
52 - 25
=> 3x =
13
9
=> x =
9
=> x =
13
গতিকে, সমাধান টো হ'ল
9 - 5
x = আৰু y =
13 13 /
x 2y y
(iv) + = - 1 আৰু - = 3
2 3 3
Answer :-
অপনয়ন পদ্ধতি:-
3 x 2 2y
=> 3x + 4y = - 6 ------> (i)
y
3×x -3× = 3×3
2
=> 3x - y = 9 -------> (ii)
(i)×1 => 3x + 4y = - 6
(ii)×1=> 3x - y = 9
(-) (+)
5y = - 15
3
- 15
=> y =
=> y = - 3
: . y ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই পাওঁ-----
3x - (-3) = 9
=> 3x + 3 = 9
=> 3x = 9 - 3
2
x =
=> x = 2
গতিকে, সমাধান টো হ'ল x = 2 আৰু y = - 3 /
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি :-
x 2y
= + = - 1
2 3
3 2
=> + = - 1 × 6
=> 3x + 4y = - 6 ------------(i)
y
x - = 3
3
y
=> 3×x - 3 × = 3×3
3
=> 3x - y = 9 --------> (ii)
সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা ----
3x = 9 + y
9 + y
x = ---------(iii)
3
: . x ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ----
= 9 + y + 4y = - 6
=> 5y = - 6 - 9
3
- 13
=> y
5
=> y = - 3
y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই পাওঁ---
9 + (-3)
=> =
3
9 - 3
=
3
2
=>
=> 2
গতিকে, সমাধান টো হ'ল x = 2 আৰু y = - 3 /
3y 5x y x 13
(v) - = - 2 আৰু + =
2 3 3 3 6
Answer :-
3x 5x
2 3
3 3y 5x
=> 6 × - 6 = - 2 × 6
=> 9y - 10x = - 12 ----------(i)
y x 13
3 3 6
2 y x 13
=> 6 × + 6 × = 6 ×
3 3 6
=> 2x + 2x = 13 -------> (ii)
(i)×2 => 18y - 20x = - 24
(ii)×9 => 18y + 18x = 117
(-) (-) (-)
- 38x = 141
141
=>x
38
x ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই পাওঁ---
141
2y + 2 × = 13
19
141
=> 2y + = 13
19
141
=> 2y = 13 - = 13
19
247 - 141
=> 2y =
19
53
=> y =
53
=> y =
19
গতিকে, সমাধান টো হ'ল
141 53
x = আৰু y =
38 19
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি :-
3y 5x
2 3
3 3y 2 5x
=> 6 × - 6 × = - 2 × 6
=> 9y - 10x = - 12 ------> (i)
y x 13
3 3 6
2 y 2 x 13
=> 6 × - 6 × = × 6
=> 2y + 2x = 13 ------> (ii)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা -----
9y = - 12 + 10x
- 12 + 10x
=> y = -------> (iii)
9
y ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
2(-12+10)
9
- 24 - 20x
=> + 2x = 13
9
- 24 + 20x + 18x
=> = 13
9
=> - 24 + 38x = 13×4
=> 38x = 117+24
141
=> x =
38
x ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
141
2y + 2 ( ) 13
19
141
=> 2y + 13
19
141
=> 2y = 13
19
247 - 141
=> 2y =
19
53
=> y
19 × 2
53
=> y =
19
গতিকে, সমাধান টো হ'ল
141
x ৰ মান = আৰু
38
53
y ৰ মান = /
19
x y
(vi) x - y = 3 আৰু + = 6
3 2
Answer :- অপনয়ন পদ্ধতি : -
x - y = 3 ---------> (i)
x y
3 2
2 x 3 y
=> 6 × + 6 × = 6 × 6
=> 2x + 3y = 36 ------> (ii)
(i)×2=> 2x - 2y = 6
(ii)×1=>2x + 3y = 36
(-) (-) (-)
- 5y = - 30
6
=> y =
=> y = 6
: . y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
x - 6 = 3
=> x = 3 + 6
=> x =9
গতিকে, সমাধান টো হ'ল x = 9 আৰু y = 6 /
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি :-
x - y = 3 ------> (i)
x y
3 2
2 x 3 y
=> 6 × + 6 × = 6 × 6
=> 2x + 3y = 36 -------(ii)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা ----
x = 3 + y -------(iii)
: . x ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
2(3+y) + 3y = 36
=> 6+2y+3y = 36
=> 5y = 36 - 6
6
=> =
=> y = 6
: . y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
x = 3 + 6
= 9
গতিকে, সমাধান টো হ'ল x = 9 , y = 6 /
8 9 10 6
(vii) - = 1 আৰু + = 7
x y x y
Answer :-
অপনয়ন পদ্ধতি : -
8 9
x y
10 6
x y
1 1
ধৰাহল, = p আৰু = q
x y
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা 8p - 9q = 1 -------> (iii)
সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা ----- 10p+ 6q = 7 ------------> (iv)
(iii)×5 => 40p - 45q = 5
(iv)×4 => 40p + 24q = 28
(-) (-) (-)
- 69 = - 23
1
=> q =
3
1
=> q =
3
q ৰ মান সমীকৰণ ( iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
3 1
8p - 9 × = 1
=> 8p - 3 = 1
=> 8p = 1 + 3
1
=> = = ½
2
এতিয়া,
1 1
=> = p আৰু = q
x y
1 1
=> = ½ => = ⅓
x y
=> x = 2 => y = 3
গতিকে, সমাধান টো হ'ল x = 2 আৰু y = 3 /
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি : -
8 9
x y
10 6
x y
1 1
ধৰাহল = p আৰু = q
x y
সমীকৰণ (i) => 8p - 9q = 1 ---------> (iii)
সমীকৰণ (ii) => 10p + 6q = 7 ---------(iv)
সমীকৰণ (iii) ৰ পৰা ----
8p = 1 + 9q
1 + 9q
=> p --------------> (v)
8
: . P ৰ মান সমীকৰণ (iv) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
5 1 + 9q
4
5 + 45q
=> + 6q = 7
4
5 + 45q + 24q
=> = 7
4
=> 5 + 6q = 7 × 4
=> 69q = 28 - 5
1
=> q =
3
=> q = ⅓
: . ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
3 1
=> 8p - 9 × = 1
=> 8p - 3 = 1
=> 8p = 1+3
1
=> p = = ½
2
এতিয়া,
1 1 1 1
x 2 y 3
=> x = 2 , => y = 3
গতিকে, সমাধান টো হ'ল x = 2 আৰু y = 3 /
2. তলৰ সমস্যা বোৰৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰ গঠন কৰা আৰু সিহঁতৰ সমাধান (যদি থাকে) অপনয়ন পদ্ধতিৰে উলিওৱা :
(i) যদি আমি লবত 1 যোগ কৰোঁ আৰু হৰৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰো এটা ভগ্নাংশ হয়গৈ 1 ।
আমি যদি অকল হৰটোতহে 1 যোগ কৰো তেন্তে ই হয়গৈ ½ । ভগ্নাংশটো কি ?
Answer :-
x
ধৰাহল, ভগ্নাংশ টো =
y
প্ৰশ্ন মতে,
x + 1
y - 1
=> x + 1 = y - 1
=> x - y = - 1 - 1
=> x - y = - 2 ------------(i)
আকৌ,
x 1
y + 1 2
=> 2x = y + 1
=> 2x - y = 1 -------> (ii)
(i)×2=> 2x - 2y = - 4
(ii)×1=> 2x - y = 1
(-) (+) (-)
- y = - 5
=> y = 5
: . y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
x - 5 = - 2
=> x = 5 - 2
=> x = 3
: . নিৰ্ণয় ভগ্নাংশ টো
3
=
5 /
(ii) পাঁচ বছৰ আগতে নুৰৰ বয়স চুনুৰ তিনিগুণ আছিল। দহ বছৰ পিছত নুৰ চুনুৰ দুগুণ ডাঙৰ হ'ব । নুৰ আৰু চুনুৰ বৰ্তমান বয়স কিমান ?
Answer :- ধৰাহল , নুৰৰ বৰ্তমান বয়স x বছৰ, আৰু নুৰ বৰ্তমান বয়স y বছৰ ।
5 বছৰ আগতে :- নুৰৰ বয়স = x - 5
চুনুৰ বয়স y = - 5
প্ৰশ্ন মতে, x - 5 = 3(y-5)
=> x - 5 = 3y - 15
=> x - 3y = - 15 + 15
=> x - 3y = - 10 --------(i)
10 বছৰ পিছত :- নুৰৰ বয়স = x + 10
চুনুৰ বয়স = y + 10
প্ৰশ্ন মতে, x + 10 = 2(y+10)
=> x + 10 = 2y + 20
=> x - 2y = 20 - 10
=> x - 2y = 10 ---------> (ii)
(i)-(ii) x - 3y - (x-2y) = - 10 - 10
=> x - 3y - x + 2y = - 20
=> - y = - 20
=> y = 20
: . y ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
x - 2 × 20 = 10
=> x - 40 = 10
=> x = 10 + 40
=> x = 50
: . নুৰৰ বৰ্তমান বয়স = 50 বছৰ ।
আৰু চুনুৰ বৰ্তমান বয়স = 20 বছৰ । /
(iii) দুটা অংকৰ সংখ্যা এটাৰ অংক দুটাৰ সমষ্টি 9 । আকৌ এই সংখ্যাটোৰ ন গুণ ল'লে সংখ্যা টোৰ অংক দুটাক সালসলনি কৰি পোৱা সংখ্যা টোৰ দুগুণৰ সমান হয়। সংখ্যা টো উলিওৱা।
Answer :- ধৰাহল, দহক স্থানৰ অংকটো = x
আৰু একক স্থানৰ অংকটো = y
: . সংখ্যা টো হ'ব = 10x + y
প্ৰশ্ন মতে,
x + y = 9 --------> (i)
আকৌ, 9(10x + y) = 2(10y + x)
=> 90x + 9y = 20y + 2x
=> 90x - 2x + 9y - 20y = 0
=> 88x - 11y = 0
=> 11(8x -y) = 0
=> 8x - y = 0----------(ii)
(i)×8=> 8x + 8y = 72
(ii)×1=>8x - y = 0
(-) (+) (-)
9y 72
8
y = = 8
: . y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
x + 8 = 9
=> x = 9 - 8
=> x = 1
: . নিৰ্ণয় সংখ্যা টো = 10 × 1 + 8
=> 18 /
(iv) মীনাই 2000 টকা উলিয়াবলৈ এটা বেংকলৈ গ'ল । তাই ধনভৰালীক মাত্র 50 টকীয়া আৰু 100 টকীয়া আৰু নোটহে দিবলৈ ক'লে । মীনাই মুঠতে 25 খন নোট পালে । তাই 50 টকিয়া আৰু 100 টকীয়া নোট কেইখনকৈ পালে ?
Answer :- ধৰাহল 50 টকীয়া নোটৰ সংখ্যা = x
আৰু 100 টকীয়া নোটৰ সংখ্যা = y
প্ৰশ্ন মতে x + y = 25
আকৌ, 50x + 100y = 2000
=> 50(x + 2y) = 50 × 40
=> x + 2y =40-------> (ii)
(ii)-(i) => x + 2y - (x+y) =40 - 25
=> x +2y - x - y = 15
=> y = 15
: . y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি
x + 15 = 25
=> x = 25 - 15
=> x = 10
: . নিৰ্ণয় 50 টকীয়া নোটৰ সংখ্যা = 10 খন ।
আৰু 100 টকীয়া নোটৰ সংখ্যা = 15 খন । /
(v) কিকাপ ধাৰলৈ দিয়া এটা লাইব্ৰেৰীত প্ৰথম তিনি দিনৰ কাৰণে এটা নিৰ্দিষ্ট মাচুল আৰু পিছৰ প্ৰতিটো দিনৰ কাৰণে এটা ওপৰঞ্চি মাচুল লয় । ৰিতাই এখন কিতাপ সাত দিন ৰখাৰ বাবে মাচুল দিয়ে 27 টকা আৰু শচীয়ে এখন কিতাপ পাঁচদিন ৰখাৰ বাবে মাচুল দিয়ে 21 টকা । নিৰ্দিষ্ট মাচুল আৰু প্ৰতিদিনে দিবলগীয়া ওপৰঞ্চি মাচুলৰ নিৰিখ কিমান উলিওৱা ।
Answer : - ধৰাহল, নিৰ্দিষ্ট মাচুল = x টকা ।
আৰু প্ৰতিদিনে দিবলগীয়া ওপৰঞ্চি মাচুল = y টকা ।
প্ৰশ্ন মতে, x + 4y = 27 -------(i)
আকৌ, x + 2y = 21 --------> (ii)
(i) - (ii) x + 4y - (x+2y) = 27 - 21
=> x + 4y - x - 2y = 6
=> 2y = 6
3
=> = 3
: . y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
x + 4 × 3 = 27
=> x + 12 = 27
=> x = 27- 27
= x = 15
: . নিৰ্ণয় নিৰ্দিষ্ট মাচুল = 15 টকা
আৰু প্ৰতিদিনে দিবলগীয়া ওপৰঞ্চি মাচুল = 3 টকা /
অনুশীলনী 3.5
1. তলৰ কোনকেইটা ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে , সমাধান নাই, নাইবা অসীম সংখ্যক সমাধান আছে ? যদি অদ্বিতীয় সমাধান আছে, সেই ক্ষেত্রত বজ্ৰ-গুণৰ পদ্ধতি ব্যবহাৰ কৰি সমাধান কৰা ।
(i) x - 3y - 3 = 0
3x - 9y - 2 = 0
Answer : - ইয়াত
a 1
¹
a 3
²
1
b - 3 1
¹
b - 9 3
² 3
c - 3 3
¹
c - 2 2
²
যিহেতু
a b c
¹ ¹ ¹
c b c
² ² ²
: . উক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাই । /
(ii) 2x + y = 5
3x + 2y = 8
Answer : - ইয়াত
a 2
¹
a 3
²
b 1
¹
b 2
²
যিহেতু ,
a b
¹ ¹
c b
² ²
: . উক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে ।
বজ্র - পুৰণ পদ্ধতি :-
2x + y - 5 = 0--------> (i)
3x +2y - 8 = 0 --------> (ii)
x y 1
=> = =
- 8 + 10 - 15 + 16 4 - 3
x y 1
=> = =
2 1 1
এতিয়া,
x 1 y 1
=> = আৰু =
2 1 1 1
=> x = 2 => y = 1
গতিকে সমাধান টো হ'লx = 2 আৰু y = 1 /
(iii) 3x - 5y = 20
6x - 10y = 40
Answer : -
a 1
¹ 3 1
a 6 2
² 2
b 1
¹ - 5 1
b - 10 2
² 2
c 1
¹ 20 1
c - 40 2
² 2
যিহেতু,
a b c
¹ ¹ ¹
c b c
: . উক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে /
(iv) x - 3y - 7 = 0
3x - 3y - 15 = 0
Answer : -
ইয়াত,
a
¹ 1
a 3
²
b 1
¹ - 3 1
b - 3 1
² 1
যিহেতু
a b
¹ ¹
a b
¹ ²
: . উক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে ।
বজ্ৰ-গুণন পদ্ধ : -
x - 3y - 7 = 0 ---------->(i)
3x - 3y - 15 = 0 -------> (ii)
-3 -7 1 -3
-3 -15 3 -3
x y 1
-3×(-15) - (-3) × (-7) - 7 × 3 - (- 15) × 1 1 × (-3) - 3
x y 1
=> = =
45 - 21 - 21 + 15 - 3 + 9
x y 1
=> = =
24 - 6 6
এতিয়া,
x 1 y 1
=> = আৰু =
24 6 - 6 6
4 1
=> x = => y =
=> x = 4 => y = - 1
সমীকৰণ টোৰ সমাধান x = 4, আৰু y = - 1 /
(v) 2x + 3y = 6
4x + 6y = 12
Answer : -
ইয়াত,
a 1
¹ 2 1
a 4 2
² 2
b 1
¹ - 3 1
b - 6 2
² 2
c 1
¹ 6 1
c - 12 2
² 2
যিহেতু
a b c
¹ ¹ ¹
c b c
² ² ²
: . উক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে /
Q (vi) x - 2y = 6
3x - 6y = 0
Answer : -
ইয়াত,
a
¹ 1
a 3
²
b 1
¹ - 2 1
b - 6 3
² 3
c
¹ 6
c 0
²
যিহেতু,
a b c
¹ ¹ ¹
c b c
² ² ²
: . উক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাই /
3a 2b
(vii) Q Answer . - = - 5 ----------> (i)
x y
a 3b
x y
ধৰাহল,
a b
x y
সমীকৰণ (i) টো -----
3p - 2q = - 5 -------(iii)
সমীকৰণ (ii) টো ----
p + 3q = 2 -------(iv)
ইয়াত,
a
¹ 3
a 1
²
b
¹ - 2
b 3
²
যিহেতু,
a b
¹ ¹
c b
² ²
: . উক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে ।
বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতি : -
3p - 2q + 5 = 0
p + 3q - 2 = 0
- 2 5 3 - 2
3 - 2 1 3
p q 1
- 2×(-2) - 3 × 5 5×1-(-2)×3 3×3-1×(-2)
p q 1
=> = =
4 - 15 5 + 6 9 + 2
p q 1
=> = =
- 11 11 11
p 1 a 1
=> = আৰু =
- 11 11 11 11
1 1
- 11 11
=> p = 1 , => q = = 1
এতিয়া,
a b
x y
x 1 y 1
=> = => =
a p b 1
=> x = - a => y = b
: . সমাধান টো হ'ল x = - a আৰু y = b /
(viii) 2x + y - 15 = 0
3x - y - 5 = 0
Answer :-
ইয়াত,
a
¹ 2
a 3
²
b
¹ 1
b - 1
²
যিহেতু
a b
¹ ¹
c b
² ²
: . উক্ত ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অদ্বিতীয় সমাধান আছে ।
বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতি :-
2x + y - 15 = 0 --------(i)
3x - y - 5 = 0 ---------(ii)
1 - 15 2 1
- 1 - 5 3 - 1
x y 1
1×(-5) - (-1)×(-15) - 15×3-(-5)×2 2×(-1)-2×1
x y 1
=> = =
- 5 - 15 - 45 + 10 - 2 - 3
x y 1
=> = =
- 20 -35 - 5
এতিয়া,
x 1 y 1
- 20 - 5 - 35 - 5
4 7
- 20 - 35
=> x => y
- 5 - 8
=> x = 4 => y = 7
: . সমীকৰণ টো হ'লx = 4 , আৰু y = 7 /
2. (i) a আৰু b ৰ কি মানৰ ক্ষেত্রত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান সমাধান থাকিব ?
2x + 3y = 7
(a - b)x + (a + b)y = 3a + b - 2
Answer :-
ইয়াত, a = 2 , b = 3, c = 7
¹ ¹ ¹
a = a-b , b = a+b , c = 3a+b-2
² ² ²
যিহেতু, ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে ।
a b c
¹ ¹ ¹
=> = =
c b c
² ² ²
2 3 7
=> = =
a - b a + b 3a+b-2
এতিয়া,
2 3
a - b a + b
=> 3(a-b) = 2(a+b)
=> 3a - 3b = 2a+2b
=> 3a-2a = 2b + 3b
=> a = 5b ------------------(i)
আকৌ,
3 7
a + b 3a+b-2
=> 3(3a+b-2) = 7(a+b)
=> 9a+3b-6 = 7a+7b
=> 9a-7a+3b-7b=6
=> 2a-4b=6
=> 2×5b-4b=6 [ (i) ৰ পৰা ]
=> 10b - 4b = 6
=> 6b = 6
1
=> b = 1
6
: . ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a = 5 × 1
=> a = 5
: . নিৰ্ণয় মান a = 5 আৰু b = 1 /
(ii) k ৰ কি মানৰ ক্ষেত্রত তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাই ?
3x + y = 1
(2k - 1) x + (k - 1) y = 2k + 1
Answer :- ইয়াত,
ইয়াত, a = 3 , b = 1, c = 1
¹ ¹ ¹
a = 2k - 1 , b = k - 1 , c = 2k + 1
² ² ²
যিহেতু ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাই ।
a b c
¹ ¹ ¹
: . = ≠
c b c
² ² ²
3 1 1
=> = =
2k - 1 k - 1 2k + 1
এতিয়া
3 1
2k - 1 k - 1
=> 3(k - 1) = 2k - 1
=> 3k - 3 = 2k - 1
=> 3k - 2k = - 1 + 3
=> k = 2
: . নিৰ্ণয় k ৰ মান হ'ল 2 /
(iii) p ৰ কি মানৰ বাবে Px - y = 2 , 6x - 2y = 3 সমীকৰণ যোৰৰ একমাত্র সমাধান থাকিব ?
Answer :- ইয়াত,
a = p , b = 1, c = 2
¹ ¹ ¹
a = 6 , b = 2, c = 3
² ² ²
যিহেতু ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰৰ একমাত্র সমাধান আছে ।
a b
¹ ¹
c b
² ²
p - 1
=> ≠
6 - 2
3
1 × 6
=> p ≠
=> p ≠ 3
গতিকে, p ৰ 3 ৰ বাহিৰে সকলো মানৰ ক্ষেত্রত প্ৰদত্ত সমীকৰণ যোৰৰ একমাত্র সমাধান থাকিব ।
(iv) k ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে ।
(3k+ 1)x + 3y - 2 = 0 , (K² + 1) x + (k - 2)y - 5 = 0
Answer :- ইয়াত,
a = 3k + 1 , b = 3, c = - 2
¹ ¹ ¹
a = k² + 1 , b = k - 2 , c = - 5
² ² ²
যিহেতু, ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ কোনো সমাধান নাথাকে ।
a b c
¹ ¹ ¹
c b c
² ² ²
3k + 1 ¹ ¹
=> = ≠
k² k - 2 - 5
এতিয়া,
3k + 1 3
k² k - 2
=> (3k + 1) (k - 2) = 3(k² + 3)
=> 3k(k - 2) + 1(k - 2) = 3k² + 3
=> 3k² - 6k + k - 2 = 3k² + 3
=> - 5k = 3 + 2
1
=> k =
- 5
=> k = - 1 /
(v) m ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা যাতে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সমাধান থাকে ।
mx + 4y + m - 4 , 16x + my = m
Answer :-
a = m , b = 4, c = m - 4
¹ ¹ ¹
a = 16 , b = m , c = m
² ² ²
যিহেতু, ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ অসীম সংখ্যক সমাধান আছে ।
a b c
¹ ¹ ¹
: . = ≠
c b c
² ² ²
এতিয়া,
m 4
16 m
=> m² = 16 × 4
=> m² = 64
=> m = ± √64
=> m = ±
আৰু
4 m - 4
=> 4 = m - 4
=> 4 + 4 = m
=> m = 8
: . নিৰ্ণেয় m ৰ মান 8 /
3. Q প্ৰতিস্থাপন আৰু বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতিৰে তলৰ ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ সমাধান উলিওৱা :
(i) 8x + 5y = 9
3x + 2y = 4
Answer :-
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি :-
8x + 5y = 9 ----------> (i)
3x + 2y = 4 ---------> (ii)
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা -----
8x = 9 - 5y
9 - 5y
=> x ------> (iii)
8
x ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
3(9 - 5y)
8
27 - 15y
=> + 2y = 4
8
27 - 15y + 16y
=> + = 4
8
=> 27 = y = 32
=> y = 32 - 27
=> y = 5
y ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
9 - 5 × 5
x =
8
9 - 25
=> x =
8
3
- 24
=> x =
=> x = - 3
গতিকে, সমাধান টো হ'ল x = - 3 আৰু y = 5 /
বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতি :-
8x + 5y - 9 = 0 --------> (i)
3x + 2y - 4 = 0 ----------> (ii)
5 - 9 8 5
2 - 4 3 2
x y 1
5×(-4) - 2×(-9) - 9×3-(-4)×8 8×2-3×5
x y 1
=> = =
- 20 + 18 - 27 + 32 16 - 15
x y 1
=> = =
- 2 - 5 1
এতিয়া,
x 1 y 1
- 2 1 5 1
=> x = - 2 => y = 5
: .সমাধান টো হ'ল x = - 2 আৰু y = 5 /
(ii) 4x - 3y = 23
3x + 4y = 11
Answer :-
প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি :-
4x - 3y = 23 -------> (i)
3x + 4y = 11 --------> (ii)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা ----
4x = 23 + 3y
23 + 3y
=> x --------> (iii)
4
x ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
3 ( 23 + 3y)
4
69 + 9y
=> + 4y = 11
4
=> 69 + 25y = 44
=> 25y - 44 = - 69
1 - 25
=> y =
=> y = - 1
y ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
23 + 3 × ( -1)
x =
4
23 - 3
=> x =
4
5 20
=> y =
=> x = - 5
: . সমাধান টো হ'ল x = 5 , আৰু y = - 1
4x - 3y - 23 = 0 ------> (i)
3x + 4y - 11 = 0 --------(ii)
- 3 - 23 4 - 3
4 - 11 3 4
x y 1
(-3)×(-11) - 4×(-23) - 23×3-(-11)×4 4×4-3×(-3)
x y 1
=> = =
33 + 92 - 69 + 44 16 × 9
x y 1
=> = =
125 - 25 25
এতিয়া
x 1 y 1
=> = আৰু = =
125 25 - 25 25
=>x =>
=> x = 5 => y = - 1
: . সমাধান টো হ'ল x = 5 , আৰু y = - 1 /
(iii) 2x + 3y - 11 = 0
4x - 3y + 5 = 0
Answer :-
2x + 3y - 11 = 0 ---------> (i)
4x - 3y + 5 = 0 ------(ii)
সমীকৰণ(i) ৰ পৰা ------
2x = 11 - 3y
11 - 3y
=> x = --------> (iii)
2
x ৰ মান সমীকৰণ (ii) বহুৱাই পাওঁ -----
=> 22 - 6y - 3y + 5 = 0
=> 27 - 9y = 0
=> - 9y = - 27
3 27
=> y = = 3
: . y ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
11 - 3 × 3
x =
2
11 - 9
=>
2
1 2
=>
=> 1
: . সমাধান হ'ল x = 1 আৰু y = 3 /
বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতি :-
2x + 3y - 11 = -------> (i)
4x - 3y + 5 = 0 --------> (ii)
3 - 11 2 3
- 3 5 4 - 3
x y 1
3 × 5 - (3)×(-11) - 11 × 4 - 5 × 2 2 ×(-3) - 4 × 3
x y 1
=> = =
15 - 35 - 44 - 10 - 6 - 12
x y 1
=> = =
- 18 - 54 - 18
x 1 y 1
=> = আৰু =
- 18 - 18 - 54 - 18
- 18 1 - 54 3
=> x = y =
- 18 - 18
=> x = 1 => y = 3
গতিকে, সমাধান হ'ল x = 1 আৰু y = 3 /
(iv) 5x + 7y = 19
3y + 2y = 7
Answer :- প্ৰতিস্থাপন পদ্ধতি :-
5x + 7y = 19 --------> (i)
3x + 2y = 7 ---------(ii)
সমীকৰণ (i) ৰ পৰা ------
5x = 19 - 7y
19 - 7y
=> x --------(iii)
5
x ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
3 ( 19 - 7y )
5
57 - 21y
=> + 2y = 7
5
57 - 21y + 10y
=> = 7
5
=> 57 - 11y = 35
=> - 11y = 35 - 57
=> - 11y = - 22
2 22
=> y =
=> y = 2
: . y ৰ মান সমীকৰণ (iii) বহুৱাই আমি পাওঁ-
19 - 7 × 2
x =
5
19 - 14
=>
5
=>
=> 1
গতিকে, সমাধান x = 1 আৰু y = 2 /
বজ্ৰ-গুণন পদ্ধতি :-
5x + 7y - 19 = 0 --------> (i)
3x + 2y - 7 = 0 --------> (ii)
7 - 19 5 7
2 - 7 3 2
x y 1
7 × ( - 7 ) - 2 × (-19) - 19 × 3 - ( - 7 ) × 5 5 × 2 - 3 × 7
x y 1
=> = =
- 49 + 38 - 57 + 35 10 - 21
x y 1
=> = =
- 11 - 22 - 11
এতিয়া,
x 1 y 1
=> = আৰু =
- 11 - 11 - 22 - 11
- 11 1 - 22 2
x => y =
- 11 - 11
=> x = 1 => y = 2
: . সমাধান টো হ'ল x = 1 আৰু y ৰ মান = 2 /
4. তলৰ সমস্যা বোৰক লৈ ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ গঠন কৰা আৰু যিকোনো বীজীয় পদ্ধতিৰে সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা (যদি বৰ্তেে) ।
(i) কোনো ছাত্ৰাবাসৰ মাহেকীয়া মাচুলৰ এটা অংশ নিৰ্দিষ্ট আৰু বাকীখিনি এজনে মেচত কিমান দিন খাদ্য গ্রহণ কৰিলে তাৰ ওপৰত নিৰ্ভৰ কৰে । যেতিয়া এজন ছাত্র A ই 20 দিন খাদ্য খায় তেন্তে তেওঁ ছাত্রাবাসৰ মাচুল দিব লাগে 1000 টকা । আকৌ এজন ছাত্র B য়ে যদি 26 দিন খাদ্য খায় তেওঁ মাচুল দিব লাগে 1180 টকা । নিৰ্দিষ্ট মাচুল আৰু প্ৰতিদিনত খাদ্যৰ দাম কি উলিওৱা ।
Answer : - ধৰাহল নিৰ্দিষ্ট মাচুল = x টকা ।
আৰু প্ৰতিদিনত খাদ্যৰ মাচুল = y টকা ।
প্ৰশ্ন মতে; x + 20 y = 1000 -------> (i)
আকৌ x + 26y = 1180 ------> (ii)
(ii) - (i) x + 26y - (x + 20y) = 1180 - 1000
=> x + 26 - x - 20y = 180
=> 6y = 180
30
=> y =
=> y = 30
: . y ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই পাওঁ ----
x + 20 × 30 = 1000
=> x + 600 = 1000
=> x = 1000 - 600
=> x = 400
:. নিৰ্ণেয় নিৰ্দিষ্ট মাচুল = 400 টকা । আৰু প্ৰতিদিনৰ খাদ্যৰ মাচুল = 30 টকা /
(ii) এটা ভগ্নাংশৰ লবৰ পৰা 1 বিয়োগ কৰিব ই হয়গৈ ⅓ ; আৰু ইয়াৰ হৰৰ লগত 8 যোগ কৰিলে হয়গৈ ¼ । ভগ্নাংশটো নিৰ্ণয় কৰা ।
x
Answer :- ধৰাহল, ভগ্নাংশ টো হ'ল
y
প্ৰশ্ন মতে,
x - y 1
y 3
=> 3x - 3 = y
=> 3x - y = 3 -------> (I)
আকৌ
x 1
y + 8 4
=> 4x = y + 8
=> 4x - y = 8 -------> (ii)
(i) × 4 => 12x - 4y = 12
(ii) × 3 => 12x - 3y = 24
(-) (+) (-)
- y = - 12
=> y = 12
: . y ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
4x - 12 = 8
=> 4x = 8 + 12
5
=> x =
=> x = 5
: . নিৰ্ণেয় ভগ্নাংশ টো হ'ল
5
=>
12 /
(iii) এটা পৰীক্ষাত যশোদাই লাভ কৰে 40 নম্বৰ, য'ত তেওঁ প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে পায় 3 নম্বৰ আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে হেৰুৱায় 1 নম্বৰ । যদি প্ৰতিটো শুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 4 নম্বৰ দিলেহেঁতেন আৰু প্ৰতিটো অশুদ্ধ উত্তৰৰ বাবে 2 নম্বৰ কাটিলেহেঁতেন, তেন্তে যশোদাই 50 নম্বৰ লাভ কৰিলেহেঁতেন । পৰীক্ষাটোত কিমানটা প্ৰশ্ন আছিল ?
Answer :- ধৰাহল পৰীক্ষাত শুদ্ধ উত্তৰৰ প্ৰশ্ন আছিল = x টা আৰু অশুদ্ধ উত্তৰৰ প্ৰশ্ন আছিল = y টা।
: . মুঠ প্ৰশ্ন আছিল = x + y
প্ৰশ্ন মতে,
3x - y = 40 ----->(i)
আকৌ 4x - 2y = 50 ------> (ii)
(i) × 4 => 12x - 4y = 160
(ii) × 3 => 12x - 6y = 150
(-) (+) (-)
2y = 10
5 10
=> y =
=> y = 5
: . y ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
3x - 5 = 40
=> 3x = 40 + 5
15 48
=> x =
=> x = 15
: . মুঠ প্ৰশ্ন আছিল = 15 + 5
=> 20 টা । /
(iv) ঘাইপথ এটাৰ ওপৰৰ দুখন ঠাই A আৰু B ৰ দূৰত্ব 100 কি, মি, এখন গাড়ী A ৰ পৰা আৰু একে সময়তে আন গাড়ী B ৰ পৰা ৰাওনা হয় । যদি গাড়ী দুখনে একে দিশলৈ বেলেগ বেলেগ দ্রুতিৰে যাত্রা কৰে, তেন্তে ইহঁত 5 ঘন্টাৰ পিছত লগ হয় । যদি সিহঁতৰ এখনে আন খনৰ দিশলৈ যাত্রা কৰে, তেন্তে সিহঁত 1 ঘন্টা পিছত লগ হয় । গাড়ী দুখনৰ প্ৰত্যেকৰে দ্ৰুতি কিমান ?
Answer :- ধৰাহল A ৰ পৰা ৰাওনা হোৱা গাড়ীৰ দ্ৰুতি = x km/hr আৰু B ৰ পৰা ৰাওনা হোৱা গাড়ীৰ দ্ৰুতি = y km/hr আপেক্ষিক দ্ৰুতি যেতিয়া একে দিশত যাত্রা কৰে = x - y আৰু আপেক্ষিক দ্ৰুতি যেতিয়া এখনে আনখনৰ দিখত যাত্রা কৰে = x + y আমি জানো ;
দুৰত্ব
সময় =
দ্ৰুতি
প্ৰশ্ন মতে
100
5 =
x - y
=> 5(x-y) = 100
=> x - y = 20 ---------> (i)
100
আকৌ 1 =
x + y
=> x + y = 100 ------> (ii)
=> x - y + x + y = 20 + 100
=> 2x = 120
=> x =
2
=> x = 60
: . x ৰ মান সমীকৰণ(ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
60 + y = 100
=> y = 100 - 60
=> y = 40
: . গাড়ী দুখনৰ দ্ৰুতি হ'ল 60 km/hr আৰু 40 km/hr /
(v) এটা আয়তৰ যদি দৈৰ্ঘ্যক 5 একক হ্ৰাস আৰু প্ৰস্থক 3 একক বৃদ্ধি ক
কৰা হয় তেন্তে ইয়াৰ কালি 9 বৰ্গ একক হ্ৰাস হয় । যদি ইয়াৰ দৈৰ্ঘ্যক 3 একক আৰু প্ৰস্থক 2 একক বৃদ্ধি কৰা হয় তেন্তে কালি 67 বৰ্গ একক বৃদ্ধি পায় । আয়তটোৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল আয়তটোৰ দীঘ = x আৰু প্ৰস্থ = y
: . আয়তটোৰ কালি = xy
প্ৰশ্ন মতে
(x - y) (y + 3) = xy - 9
=> x(y + 3) - 5(y + 3) = xy - 9
=> xy + 3x - 5y - 15 = xy - 9
=> 3x - 5y = 15 - 9
=> 3x - 5y = 6 ------> (i)
আকৌ (x + 3) (y + 2) = xy + 67
=> x(y + 2) + 3(y + 2) = xy + 67
=> xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
=> 2x + 3y = 67 - 6
=> 2x + 3y = 61 -------> (ii)
(i) × 2 => 6x - 10y = 12
(ii) × 3 => 6x + 9y = 183
(-) (-) (-)
- 19 = - 17
=> y =
=> y = 9
: . y ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
2x + 3 × 4 = 61
=> 2x + 27 = 61
=> 2x = 61 - 27
=> =
=> = 17
: . নিৰ্ণেয় আয়তটোৰ দীঘ= 17 একক আৰু প্ৰস্থ 9 একক ।
অনুশীলনী 3.6
1. ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰলৈ পৰিৱৰ্তন কৰি তলৰ সমসমীকৰণ যোৰ কেইটা
সমাধান কৰা :
1 y
(i) + = 2
2x 3y
1 1 13
3x 2y 6
Answer :-
1 y
2x 3y
1 1 13
3x 2y 6
1 1
ধৰাহল = p আৰু = q
x y
সমীকৰণ (i) ----
P q
2 3
3 P 2 q
=> 6 × + 6 × = 2 × 6
=> 3p + 2q = 12 ------> (iii)
সমীকৰণ (ii) ৰ পৰা
p q 13
3 2 6
2 P 3 q 13
=> 6 × + 6 × = × 6
=> 2p + 3q = 13 ------> (iv)
(iii) × 2 => 6p + 4q = 24
(iv) × 3 => 6p + 9q = 39
(-) (-) (-)
- 5q = 15
3
=> q =
=> q = 3
: . q ৰ মান সমীকৰণ(iv) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
2p + 3 × 3 = 13
=> 2p + q = 13
=> 2p = 13 - 9
=> p = = 2
1 1
: . = 2 আৰু = 3
x y
1 1
=> x = => y =
2 3
সমাধান টো হ'ল
1 1
x আৰু y
x 3 /
2 3
(ii) + = 2
√x √y
4 9
√x √y
Answer :-
2 3
√x √y
4 9
√x √y
ধৰাহল
2 1
√x √y
সমীকৰণ(i) 2p + 3q = 2 -------> (iii)
সমীকৰণ (ii) 4p - 9q = - 1 ------> (iv)
(iii) × 2 => 4p + 6q = 4
(iv) × 1 => 4p + 9q = - 1
(-) (+) (+)
15q = 5
1
=> q =
1
=> q =
3
q ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
1
2p + 3 × = 2
=> 2p + 1 = 2
=> 2p = 2 - 2
1
=> p =
2
1 1
: . = p আৰু = q
√x √y
1 1 1 1
=> = => =
√x² 2 √y 3
=> (√x)² = (2)² => (√y)² = (3)²
=> x = 4 => y = 9
: . ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ সমাধান টো হ'ল x = 4 আৰু y = 9 /
4
(iii) + 3y = 14
x
3
x
Answer :-
4
x
3
x
ধৰাহল,
x
p
সমীকৰণ (i) => 4x + 3y = 14 -------> (iii)
সমীকৰণ (ii) => 3p - 4y = 23 --------> (iv)
(iii) × 3 => 12p + 9y = 42
(iv) × 4 => 12p - 16q = 92
(-) (+) (-)
+ 25y = - 50
y =
25
=> y = - 2
: . y ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
4p + 3 × ( - 2) = 14
=> 4p - 6 = 14
=> 4p = 20
=> p =
4
=> p = 5
1
: . = p
x
1
=> = 5
x
1
=> x =
5
: . সমাধান টো হ'ল
1
x = আৰু y = - 2 /
5
5 1
(iv) + = 2
x - 1 y - 2
6 3
x - 1 y - 2
Answer :-
5 1
x - 1 y - 2
6 3
x - 1 y - 2
ধৰাধৰাহল
1 1
x - 1 y - 2
সমীকৰণ (i) => 5p + q = 2 --------> (iii)
সমীকৰণ(ii) => 6p - 3q = 1 ------> (iv)
(iii) × 6 = 30p + 6q = 12
(iv) × 5 = 30p - 15q = 5
(-) (+) (-)
21q = 7
=> q =
1
=> q =
3
: . q ৰ মান সমীকৰণ (iv) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
1
6p - 3 × = 1
3
=> 6p - 1 = 1
=> 6p = 2
=> p =
=> p = ⅓
1 1
: . = p আৰু = q
x - 1 y - 2
1 1 1 1
=> = => =
x - 1 3 y - 2 3
1 1
=> x - 1 = 3 => =
y - 2 3
=> x - 1 = 3 => y - 2 = 3
=> x = 4 => y = 5
সমাধান টো হ'ল x = 4 আৰু y = 5 /
7x - 2y
(v) = 5
xy
8x - 7y
xy
Answer :-
7x - 2y
xy
7x 2y
xy xy
7 2
=> - = 5 -------> (i)
y x
8x + 7y
xy
8 7
=> + = 15 ------> (ii)
y x
ইয়াত
1 1
y x
সমীকৰণ (i) => 7p - 2q = 5 ------> (iii)
সমীকৰণ (ii) => 8p + 7q = 15 ------> (iv)
(iii) × 8 => 56p + 16q = 40
(iv) × 7 => 56p + 49q = 105
(-) (-) (-)
- 65q = 65
=> q =
=> q = 1
: . q ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
7p - 2 × 1 = 5
=> 7p = 5 + 2
=> p =
=> p = 1
1 1
: . = p আৰু = q
y x
1 1
=> = 1 => = 1
y x
=> y = 1 => x = 1
: . সমাধান টো হ'ল x = 1 আৰু y = 1 /
(vi) 6x + 3y = 6xy
2x + 4y = 5xy
Answer :- 6x + 3y = 6xy
6x 3y 6xy
=> + =
xy xy xy
6 3
=> + = 6 -------> (i)
y x
2x + 4y = 5xy
2x 4y 5xy
=> + =
xy xy xy
2 4
=> + = 5 ------> (ii)
y y
1 1
ধৰাহল + = p আৰু - q
y x
সমীকৰণ (i) => 6p + 3q = 6 -----> (iii)
সমীকৰণ (ii) => 2p - 4q = 5 -----> (iv)
(iii) × 1 => 6p + 3q = 6
(iv) × 3 => 6p + 12q = 15
(-) (-) (-)
- 9q = - 9
=> 9 =
=> q = 1
: . q ৰ মান সমীকৰণ(iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
6p + 3 × 1 = 6
=> 6p + 3 = 6
=> 6p = 6 - 3
=> p =
1
=> p =
2
1 1
: . = p আৰু = q
y x
1 1 1
=> = => = 1
y 2 x
=> x = 2 => y = 1
সমাধান টো হ'ল x = 1 , আৰু y = 2 /
10 2
(vii) + = 4 ---------->(i)
x + y x - y
15 2
x + y x - y
Answer :-
1 1
ধৰাহল = p আৰু = q
x + y x - y
সমীকৰণ (i) => 10p + 2q = 4 ------>(iii)
সমীকৰণ (ii) => 15p - 5q = - 2 ------>(iv)
(iii) × 3 => 30p + 6q = 12
(iv) × 2 => 30p - 10q = - 4
(-) (+) (+)
16q = 16
=> q = 1
: . q ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
10p + 2 × 1 = 4
=> 10p = 4 - 2
=> p =
1
=> p =
5
1 1
: . = p আৰু = q
x + y x - y
1 1 1
=> = => = 1
x + y 5 x - y
=> x + y = 5 ----->(v) => x - y = 1 ------> (vi)
(v) + (vi)
=> x + y + x - y = 5 + 1
=> 2x = 6
=> x = = 3
: . x ৰ মান সমীকৰণ (v) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
=> 3 + y = 5
=> y = 5 - 3
=> y = 2
: . সমীকৰণ টো হ'লx = 3 , আৰু y = 2 /
1 1 3
(viii) + = ------> (i)
3x + y 3x - y 4
1 1 -1
3(3x + y) 2(3x - y) 8
Answer :-
1 1
ধৰাহল = p আৰু = q
3x - y 3x - y
সমীকৰণ (I)
3
সমীকৰণ (i) p + q =
4
3
=> 4 × p + 4 × q = 4 ×
4 p 4 q - 1
সমীকৰণ (ii) 8 × - 8 × = × 8
=> 4p - 4q = - 1 -----> (iv)
(iii) - (iv) => 4p + 4q - (4p - 4q) = 3 - ( - 1)
=> 4p + 4q - 4p + 4q = 3 + 1
=> 8q = 4
1
=> q = =
2
2 1
4p - 4 × = - 1
2
=> 4p = 2 = - 1
=> 4p = - 1 + 2
1
=> p =
4
1 1
: . = p আৰু = q
3x + y 3x - y
1 1 1 1
=> = => =
3x + y 4 3x - y 2
=> 3x + y = 4 ------>(v) => 3x - y = 2 -----> (vi)
(v) + (vi)
=> 3x + y + 3x - y = 4 + 2
=> 6x = 6
=> x = 1
: . x ৰ মান সমীকৰণ (v) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
3 × 1 + y = 4
=> y = 4 - 3
=> y = 1
: . ৰৈখিক সমীকৰণ যোৰৰ সমাধান টো হ'ল
x = 1 আৰু y = = 1 /
2. তলৰ সমস্যা বোৰক একেটা সমীকৰণৰ যোৰত সূত্র বন্ধ কৰা আৰু সিহঁতৰ সমাধান উলিওৱা।
(i) ঋতুয়ে 2 ঘন্টাত ভটিয়াই সোঁতত 20 কি, মি, নাও বাব পাৰে আৰু 2 ঘন্টাত উজনি সোঁতত 4 কি, মি, যাব পাৰে । তেওঁৰ স্হিৰ পানীত নাওৰ দ্ৰুতি আৰু সোঁতৰ দ্ৰুতি উলিওৱা ।
Answer : - ধৰাহল, স্থিৰ পানীত নাওৰ দ্ৰুতি = x km/hr
আৰু পানীৰ সোঁতৰ দ্ৰুতি = y km/he
: . ভটিয়নী সোঁতত নাও খনৰ দ্ৰুতি = (x +y) km/hr
আৰু উজনি সোঁতত নাও খনৰ দ্ৰুতি = (x -y) km/hr
দ্ৰুতি
আমি জানো ; সময় =
দ্ৰুতি
প্ৰশ্ন মতে
20
2 =
x + y
=> 2(x +y) = 20
=> x + y =
=>x + y = 10 ---------> (i)
আকৌ
4
2 =
x + y
=> 2(x - y) = 4
=> 2(x - y) =4
=> x - y =
=> x - y = 2 ------> (ii)
(i) + (ii) x + y + x - y = 10 + 2
=>2x = 12
=> x =
=> x = 6
: . x ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
6 + y = 10
=> y = 10 - 6
=> y = 4
: . স্থিৰ পানীত নাওঁ খনৰ দ্ৰুতি = 6 km/hr
আৰু পানীৰ সোঁতত দ্ৰুতি = km/hr /
(ii) 2 জনী মহিলা আৰু 5 জন পুকুষে একেলগে 4 দিনত কাপোৰত ডিজাইন কৰা কাম এটা কৰে। এই কামটো 3 জনী মহিলা আৰু 6 জন পুৰুষে 3 দিনত শেষ কৰে । 1 জনী মহিলাই অকলে কামটো শেষ কৰিবলৈ কিমান সময় ল'ব আৰু 1 জন পুৰুষেও অকলে কিমান সময় ল'ব ?
Answer :- ধৰাহল, 1 জনী মহিলাই অকলে কামটো শেষ কৰে = x দিন আৰু 1 জন পুৰুষে অকলে কামটো শেষ কৰে = y দিন ।
প্ৰশ্ন মতে,
2 5 1
x y 4
3 6 1
আকৌ + = ---------> (ii)
x y 3
ইয়াত
1 1
x y
সমীকৰণ (i) => 2p + 5q = ¼
=> 4 × 2p + 4 × 5q = 4 × ¼
=> 8p + 20q = 1 -------> (iii)
সমীকৰণ(ii) ৰ পৰা 3p + 6q = ⅓
=> 3 × 3p + 3 × 6q = 3 × ⅓
=> 9p + 18q = 1 ------> (iv)
(iii) × 9 => 72p + 180q = 9
(iv) × 8 => 72p + 144 = 8
36q = 1
1
=> q =
36
: . q ৰ মান সমীকৰণ(iv) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
1
9p + 18 × = 1
36
=> 9p + ½ = 1
=> 9p = 1 - ½
2 - 1
=> 9p =
2
1
=> p =
18
এতিয়া,
1 1
x 2
1 1 1 1
=> = => =
2 18 y 36
=> x = 18 => y = 36
: . 1 জনী মহিলাই অকলে কামটো শেষ কৰিবলৈ সময় ল'ব = 18দিন ।
আৰু এজন পুৰুষে সময় ল'ব = 36 দিন ।
(iii) গীতুয়ে তেওঁৰ ঘৰলৈ 300 কি, মি, পথৰ এক অংশ ৰে'লগাড়ীৰে আৰু এক অংশ বাছেৰে ভ্ৰমণ কৰে । তেওঁ 60 কি, মি, ৰে'লগাড়ীৰে আৰু বাকীখিনি বাছেৰে যাওঁতে 4 ঘন্টা সময় লয় । তেওঁক 10 মিনিট বেছি লাগে যদি তেওঁ 100 কি, মি, ৰে'লগাড়ীৰে আৰু বাকীখিনি বাছেৰে যায় । ৰে'লগাড়ীৰ দ্ৰুতি আৰু বছৰ দ্ৰুতি কিমান বেলেগ বেলেগ উলিওৱা।
Answer : - ধৰাহল, ৰেল গাড়ীৰ দ্ৰুতি = x km/hr
আৰু বাছৰ দ্ৰুতি = y km/hr
দূৰত্ব
আমি জানো, সময় =
দ্ৰুতি
প্ৰথম চৰ্ত মতে,
60 240
x y
দ্বিতীয় চৰ্ত মতে,
সময় লাগে = 4 ঘন্টা+ 10 মিনিট
10
= 4 +
60
24 + 1
=>
6
25
=> ঘন্টা
6
100 200 25
: . + = ---------> (iii)
x y 6
1 1
ইয়াত = p আৰু = q
x y
সমীকৰণ (i) => 60p + 240q = 4 -----------> (iii)
25
সমীকৰণ (ii) 100p + 200q =
6
=> 600p + 1200q = 25 --------> (iv)
(iii) × 10 => 600p + 1400q = 40
(iv) × 1 => 600p + 1200q = 25
(-) (-) (-)
1200 q = 15
= q =
80
1
=> q =
80
: . ৰ মান সমীকৰণ (iii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
3 1
600p + 240 × 4
=> 60p + 3 = 4
=>60p = 4 - 3
1
=> p =
60
1 1
এতিয়া = p আৰু = q
x y
1 1 1
=> = p => =
x y 80
1 1
=> = => y = 80
x 60
=> x = 60
: . ৰে'ল গাড়ীৰ দ্ৰুতি হ'ল = 60 km/hr
আৰু বাছৰ দ্ৰুতি = 80 km/hr
CLASS 10 METHS QUESTION ANSWER
২/ বহু পদ
CLASS 10 ASSAMESE QUESTION ANSWER
১/ বৰগীত
৫/ দৃশ্যান্তৰ
১২/ পাৰস্যত এভূমুকি
CLASS 10 ENGLISH QUESTION ANSWER
CLASS 10 COCIAL SCIENCE QUESTION ANSWER
CLASS 11 ASSAMESE QUESTION ANSWER
