দ্বিঘাত সমীকৰণ চতুর্থ অধ্যায় প্ৰশ্ন উত্তৰ
(Quadratic Equations) Class 10 Mathematics question answer
অনুশীলনী 4.1
1/ তলৰ বোৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ হয়নে পৰীক্ষা কৰা :
(i) (x + 1)² = (2x - 3)
Answer : - x² + 2x×1+1² = 2×x - 2×3
=> x² + 2x + 1 = 2x - 6
=> x² + 1 + 6 = 0
=> x² + 7 = 0
: . দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ।
(ii) x² - 2x = ( - 2 ) (3 - x)
Answer : - x² - 2x = - 2 × 3 + 2 × x
=> x² - 2.x = - 6 + 2x
=> x² - 2x - 2x + + 6 = 0
=> x² - 4x + 6 = 0
: . দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় ।
(iii) (x - 2)(x + 1) = (x - 1)(x + 3)
Answer :- x(x - 2) - 2(x + 1) = x(x + 3) - ( + 1)
=> x² + x - 2x - 2 = x² + 3x - x - 3
=> - x - 2 = 2x - 3
=> - x - 2x - 2 + 3 = 0
=> - 3x + 1 = 0
: . দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয় ।
(iv) (x - 3)(2x + 1) = x(x + 5)
Answer :- x(2x + 1) - 3(2x + 1) = x² + 5x
=> 2x² + x - 6x - 3 = x² + 5x
=> 2x² - x² - 5x - 5x - 3 = 0
=> x2 - 10x - 3 = 0
: . দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় /
(v)(2x - 1)(x - 3) = (x + 5)(x - 1)
Answer :- 2x(x - 3) - 1(x - 3) = x(x - 1) + 5(x - 1)
=> 2x² - 6x - x + 3 = x² - x + 5x - 5
=> 2x² - 7x + 13 = x² + 4x - 5
=> 2x² - x² - 7x - 4x + 3 + 5 = 0
=> x² - 11x + 8 = 0
: . দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় /
(vi) x² + 3x + 1 = (x - 2)²
Answer :- x² + 3x + 1 = x² - 2.x.2 + 2²
=> x² + 3x + 1 = x² - 4x + 4
=> 3x + 4x + 1 - 4 = 0
=> 7x - 3 = 0
: . দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয় /
(vii) (x + 2)³ = 2x (x² - 1)
Answer :- x³ + 2³ + 3a².2 + 3.x.2² = 2x.x² - 2.x.1
=> x³ + 8 + 6x² + 12x = 2x³ - 2x
=> x³ - 2x³ + 6x² + 12 + 2x + 8 = 0
=> - x³ + 6x² + 14x + 8 = 0
: . দ্বিঘাত সমীকৰণ নহয় /
(viii) x³ - 4x² - x + 1 = (x - 2)³
Answer : - x³ - 4x² - x + 1 = x³ - 2³ - 3.x².2 + 3.x.2²
=> x³ - 4x² - x + 1 = x³ - 8 - 6x² + 12x
=> - 4x² + 6x² - x - 12x + 1 + 8 = 0
=> 2x² - 13x + 9 = 0
: . দ্বিঘাত সমীকৰণ হয় /
2. তলৰ পৰিস্থিতি কেইটাক দ্বিঘাত সমীকৰণৰ আৰ্হিত প্ৰদৰ্শন কৰা: -
(i) আয়তাকাৰ মাটি এটুকুৰাৰ কালি 528 বৰ্গ মিটাৰ। মাটি টুকুৰাৰ দীঘ ইয়াৰ পথালিৰ দুগুনতকৈ 1 (মিটাৰ) বেছি মাটি টুকুৰাৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱাব লাগে।
Answer :- ধৰাহল আয়তাকাৰ মাটি টুকুৰাৰ প্ৰস্থ= x মিটাৰ
: . দীঘ = (2x + 1) m²
=> প্ৰস্থ × দীঘ = 528 m²
=> x(2x + 1) = 528 m²
=> 2x² + x = 528
=> 2x² + x - 528
=> 2x² + x - 528 = 0
(ii) দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ পূৰণফল 360 । আমি সংখ্যা দুটা উলিয়াব লাগে ।
Answer : - ধৰাহল ক্ৰমিক যোগাত্মক সংখ্যা দুটা = x আৰু x + 1
প্ৰশ্ন মতে x(x +1) = 360
=> x² + x = 360
=> x² + x - 360 = 0 -----> (i)
: . এয়াই হৈছে প্ৰদত্ব পৰিস্থিতিৰ দিঘাত সমীকৰণ /
(iii) ৰামৰ মাক তেওঁতকৈ 26 বছৰ ডাঙৰ । তেওঁলোকৰ বয়সৰ গুণফল (বছৰত) আজিৰ পৰা 3 বছৰ পিছত হ'বগৈ 360 । ৰামৰ বৰ্তমান বয়স বয়স আমি উলিয়াব লাগে ।
Answer :- ধৰাহল ৰামৰ বৰ্তমান বয়স = x বছৰ
: . ৰামৰ মাকৰ বৰ্তমান বয়স = x + 26 বছৰ
: . 3 বছৰ পিছত
ৰামৰ বয়স হ'ব = (x + 3) বছৰ
ৰামৰ মাকৰ বয়স হ'ব x + 26 + 3 = (x + 29) বছৰ
প্ৰশ্ন মতে (x + 3) (x + 29 = 360
=> x² + 29x + 3x + 87 = 360
=> x² + 32x + 87 - 360 = 0
=> x² + 32 - 273 = 0
=> x² + 32 - 273 = 0 ------> (i)
: . (i) সমীকৰণ টোয়েই প্ৰদত্ব পৰিস্থিতিৰ দ্বিঘাত সমীকৰণৰ প্ৰদৰ্শন।
(iv) এখন ৰে'লগাড়ীয়ে 480 কিলোমিটাৰ পথ এটা সমান দ্ৰুতিত ভ্ৰমণ কৰে। যদি এই দ্ৰুতি প্ৰতি ঘন্টাত 8 কি, মি, কম হ'লহেতেন, তেন্তে একে সমান দূৰত্ব আগুৰিবলৈ 3 ঘন্টা বেছি ল'লেহেতেন। ৰে'লগাড়ীখনৰ দ্ৰুতি উলিয়াব লাগে ।
Answer :- ধৰাহল, ৰেল গাড়ীখনৰ দ্ৰুতি = x km/h
দিয়া আছে, মুঠ দূৰত্ব = 480 km
আমি যেনো,
দূৰত্ব
দ্ৰুতি =
সনয়
দূৰত্ব 480
=> সময় = = h
সনয় x
আকৌ আমি 480 km যাওঁতে দ্ৰুতি - (x - 8) km/h হয়
480
তেন্তে সময় = h
x - 8
480 480
প্ৰশ্ন মতে - = 3
x - 8 - x
1 1
=> 480 ( - ) =3
x - 8 x
x - (x - 8) 3
=> =
(x - 8) x 480
160
x - x + 8 1
=> =
x² - 8x 160
8 1
=> =
x² - 8x 160
=> x² - 8x = 1280
=> x² - 8x - 1280 = 0 --------> (i)
: . (i) নং সমীকৰণ টোৱেই প্ৰদত্ব পৰিস্থিতিৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ /
অনুশীলনী 4.2
1/ উৎপাদকীকৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ বোৰৰ মূলবোৰ উলিওৱা ।
(i) x² - 3x - 10 = 0
Answer :- x² - (5 - 2)x - 10 = 0
=> x² - 5x + 2x - 10 = 0
=> x(x - 5) + 2(x - 5) = 0
=> (x - 5) (x + 2) = 0
: . x - 5 = 0 or x + 2 = 0
=> x = 5 => x = - 2
: . মূল দুটা হ'ল 5 আৰু - 2 /
(ii) 2x² + x - 6 = 0
Answer :- 2x² + (4 - 3)x - 6 = 0
=> 2x² + 4x - 3x - 6 = 0
=> 2x(x + 2) - 3(x + 2) = 0
=> (x + 2) (2x - 3) = 0
: . x + 2 = 0 or 2x - 3 = 0
=> x = - 2 => 2x = 3
3
=> x =
2
3
: . মূল দুটা হ'ল - 2 আৰু
2 /
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
Answer :- √2x² + (5 + 2)x + 5√2 = 0
=> √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
=> x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
=> (√2x + 5) (x + √2) = 0
: . √2x + 5 = 0 or x + √2 = 0
=> √2x = - 5 => x = - √2
- 5
=> x =
√2
- 5
: . মূল দুটা হ'ল => x = আৰু - √2 /
√2
1
(iv) 2x² - x + = 0
8
Answer : -
1
8 × 2x² - 8 × x + 8 = 0
8
=> 16x² - 8x + 1 = 0
=> 16x² - (4 + 4) x + 1 = 0
=> 16x² - 4x - 4x + 1 = 0
=> 4x (4x - 1) - 1(4x - 1)
=> (4x - 1) (4x - 1) = 0
: . 4x - 1 = 0 or 4x - 1 = 0
=> 4 = 1 => 4x = 1
1 1
=> x = => x =
4 4
1 1
মূল দুটা হ'ল আৰু = /
4 4
(v) 100x² - 20x + 1 = 0
Answer :- 100x² - (10 + 10)x + 1 = 0
=> 10x² - 10x - 10x + 1 = 0
=> 10x (10x - 1) - 1(10x - 1) = 0
=> (10x - 1) (10x - 1) = 0
: . 10x - 1 = 0 or 10x - 1 = 0
=> 10x = 1 => 10x - 1
1 1
=> x = => x =
10 10
1 1
: . মূল দুটা হ'ল আৰু = /
10 10
(vi) 2x² - 7x + 6 = 0
Answer :- 2x² - (4 + 3)x + 6 = 0
=> 2x² - 4x - 3x + 6 = 0
=> 2x (x - 2) - 3(x - 2) = 0
=> (x - 2) (2x - 3) = 0
: . x - 2 = 0 or 2x - 3 = 0
=> x - 2 => 2x = 3
3
=> x =
2
3
: . মূল দুটা হ'ল 2 আৰু =
2
(vii) x² - 10x - 96 = 0
Answer :- x² - (16 - 6) x - 96 = 0
=> x² - 16 + 6x - 96 = 0
=> x(x - 16) + 6(x - 16) = 0
=> (x - 16) (x + 6) = 0
: . x - 16 = 0 or x + 6 = 0
=> x = 16 => x = - 6
: . মূল বোৰ হ'ল 16 আৰু শত - 6 /
(viii) √3x² + 10x + 7√3 = 0
Answer :- √3x² + (7 + 3)x + 7√3 = 0
=> √3x² + 7x + 3x + 7√3 = 0
=> x(√3x + 7) √3(√3x + 7) = 0
=> (√3x + 7) (x + √3) = 0
: . √3x + 7 = 0 or x + √3 = 0
=> √3 = - 7 => x = - √3
- 7
=> x =
13
- 7
: . মূল বোৰ হ'ল = আৰু - √3 /
√3
(ix) x² + 2x√2 + 2 = 0
Answer :- x² + (√2 + √2)x + 2 = 0
=> x² + √2x + √2x + 2 = 0
=> x(x + √2) + √2(x + √2) = 0
=> (x + √2) (x + √2) = 0
: . x + √2 = 0 or x + √2 = 0
=> x = - √2 => x = √2
: . মূল বোৰ হ'ল - √2 আৰু - √2 /
(x) 14x + 5 - 3x² = 0
Answer :- - 3x² + 14x + 5 = 0
=> 3x² - 14x - 5 = 0
=> 3x² - (15 - 1)x - 5 = 0
=> 3x² - 15x + x - 5 = 0
=> 3x (x - 5) + 1(x - 5) = 0
=> (x - 5) (3x + 1) = 0
: . x - 5 = 0 or 3x + 1 = 0
=> x - 5 => 3x = - 1
- 1
=> x =
3
- 1
: . মূল বোৰ হ'ল 5 আৰু = /
3
2. উদাহৰণ 1 ত দিয়া সমস্যা দুটা সমাধান কৰা ।
জন আৰু জয়ন্তী দুয়োৰে 45 টা মাৰ্বল আছে । তেওঁলোকৰ 5 টাকৈ মাৰ্বল হেৰালে আৰু এতিয়া তেওঁলোকৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যাৰ গুণফল 124 । আমি উলিয়াব লাগে আৰম্ভণিতে তেওঁলোকৰ কেইটাকৈ মাৰ্বল আছিল ।
Answer :- ধৰাহল আৰম্ভণিতে জনৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা x টা
: . জয়ন্তীৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা (45 - x) টা ।
প্ৰশ্ন মতে (x - 5) (45 - x - 5) = 124
=> (x - 5) (40 - x) = 124
=> 40x - x² - 200 + 5x = 124
=> - x² + 45x - 324 = 0
=> - x² - 45x + 324 = 0
=> x² - 45x + 324 = 0
=> x² - 36x - 9x + 324 = 0
=> x(x - 36) - 9(x - 36) = 0
=> (x - 36) (x - 9)
x - 36 = 0 বা x - 9 = 0
x = 36 x = 9
: . জনৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা 36 বা 9
: . জয়ন্তীৰ হাতত থকা মাৰ্বলৰ সংখ্যা
(45 -x)
(45 - 9)
36 টা বা 9 টা /
(ii) এটা কুটীৰ শিল্পই এদিনত এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক পুতলা তৈয়াৰ কৰে । দেখা গ'ল প্ৰতিটো পুতলা উৎপাদৰ খৰছ (টকাত) 55 বিয়োগ এদিনত উৎপাদিত পুতলাৰ সংখ্যা। এটা বিশেষ দিনত সমুদায় উৎপাদনৰ খৰছ আছিল 750 আমি নিৰ্ণয় কৰিব লাগে সিদিনাখ উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা কিমান ।
Answer :- ধৰাহল সেই দিনটোত উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা x টা এটা পুতলাৰ উৎপাদনৰ খৰছ 55 - x
x(55 - x) = 750
=> 55x - x² = 750
=> - x² + 55x - 750 = 0
=> x² - 55x + 750 = 0
x² - 55x + 750 = 0
=> x² - 30x - 25x + 750 = 0
=> x(x - 30) - 25(x - 30) = 0
=> (x - 30) (x - 25) = 0
x - 30 = 0 বা x - 25 = 0
x = 30 x = 25
: . সেই দিনা উৎপাদন হোৱা পুতলাৰ সংখ্যা 25 টা বা 30 টা হ'ব /
3. দুটা সংখ্যা উলিওৱা যাৰ সমষ্টি 27 আৰু গুণফল 182 ।
Answer :- ধৰাহল এটা সংখ্যা x
: . আনটো সংখ্যা হ'ল 27 - x
প্ৰশ্ন মতে,
x(27 - x) = 182
=> 27x - x² - 182 = 0
=> - x² + 27x - 182 = 0
=> x² - 27x + 182 = 0
=> x² - (14 + 13)x + 182 = 0
=> x² - 14x - 13x + 182 = 0
=> x(x - 14) - 13(x - 14) = 0
=> - x - 14 or x = 13 = 0
=> x = 14 => x = 13
: . সংখ্যা দুটা হ'ল 13 আৰু 14 /
4. দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক সংখ্যা উলিওৱা যাৰ বৰ্গৰ যোগফল 365 ।
Answer :- ধৰা হ'ল দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক সংখ্যা x আৰু x + 1
প্ৰশ্ন মতে,
x² + (x + 1) ² = 365
=> x² + x² + 2.x.1 + 1² = 365
=> 2x² + 2x + 1 - 365 = 0
=> 2x² + 2x - 365 = 0
=> 2(x² + x - 182) = 0
=> x² + x - 182 = 0
=> x² + (14 - 13)x - 182 = 0
=> x² + 14x - 13x - 182 = 0
=> x(x + 14) - 13(x + 14) = 0
=> (x + 14) (x - 13) = 0
: . x + 13 = 0 or x - 13 = 0
=> x = - 14 => x = 13
=> x = - 14 (অসম্ভৱ) => x = 13
: . দুটা ক্ৰমিক যোগাত্মক সংখ্যা হ'ল 13 আৰু 14 /
5. এটা সমকোণী ত্ৰিভূজৰ উচ্চতা ইয়াৰ ভূমিতকৈ 7 চে, মি, কম । যদি অতিভুজটো 13 চে, মি, অইন বাহু দুটা উলিওৱা ।
Answer -- ধৰাহল (BC) = x চে:মি:
উচ্চতা (AB) (x - 7) চে: মি:
অতিভুজ (AC) 13 সন চে: মি:
: . AB² + BC² = AC²
=> (x - 7) + x² = 13²
=> x² - 2.x.7 + 7² + x² = 169
=> 2x² - 14x + 49 - 169 = 0
=> 2x² - 14x - 120 = 0
=> 2(x² - 7x - 60) = 0
=> x² - 7x - 60 = 0
=> x² - (12 - 5)x - 60 = 0
=> x² - 12x + 5x - 60 = 0
=> x(x - 12) + 5(x - 12) = 0
=> (x - 12) (x + 5) = 0
: . x - 12 = 0 or x + 5 = 0
=> x = 12 => x = - 5 অসম্ভৱ
: . ত্ৰিভূজটোৰ ভূমি 12 চে: মি: আৰু উচ্চতা 12 - 7 = 5 চে: মি: /
6. এটা কুটীৰ শিল্পই দৈনিক এটা নিৰ্দিষ্ট সংখ্যক মাটিৰ বাচন তৈয়াৰ কৰে। এদিন দেখা গ'ল যে প্ৰতিটো বস্তুৰ উৎপাদনৰ খৰছ (টকাত) সিদিনাৰ উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যাৰ দুগুনতকৈ 3 বেছি । যদি সিদিনা উৎপাদনৰ মুঠ ব্যয় 90 টকা, উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা আৰু প্ৰতিটো বস্তুৰ ব্যয় কিমান হ'ব উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল সেইদিনা উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা = x আৰু প্ৰতিটো বস্তুৰ উৎপাদিত খৰছ = 2x + 2
প্ৰশ্ন মতে x(2x + 3) = 0
=> 2x + 3x - 90 = 0
=> 2x² + (15 - 12)x - 90 = 0
=> 2x² + 15x - 12x - 90 = 0
=> x(2x + 15) - 6(2x + 15) = 0
=> (2x + 15) (x - 6) = 0
: . 2x + 15 = 0 Or x - 6 = 0
=> 2x = - 15 => x = 6
- 15
=> x = ( অসম্ভৱ)
2
: . সেইদিনা উৎপাদিত বস্তুৰ সংখ্যা = 6 টা আৰু প্ৰতিটো বস্তুৰ উৎপাদিত খৰছ
= 2 × 6 + 3
=> 15 টকা /
অনুশীলনী 4.3
1. বৰ্গ সম্পূৰণ পদ্ধতিৰে তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ বোৰৰ মূল (যদি বৰ্তে) উলিওৱা।
(i) 2x² - 7x + 3 = 0
Answer :- ইয়াত, a = 2, b = - 7, c = 3
: . b² - 4ac = (-7) - 4 × 2 × 3
=> 49 - 24
=> 25 > 0
: . উক্ত সমীকৰণটো মূল বৰ্তে
2x² - 7x + 3 = 0
2x² 7x 3
=> - + = 0
2 2 2
7 3
=> x² - x + = 0
2 2
7 - 3
=> x² - x =
2 2
7 7² - 3 7²
=> x² - x = ( ) = + ( )
2 4² 2 4²
7² - 3 49
=> (x - ) = +
4² 2 16
7² - 24 + 49
=> (x - ) =
4² 16
7² - 25
=> (x - ) =
4² 16
7 25
=> x - = ± 4 √16
7 5
=> x ± =
4 4
7 ± 5
=> x =
4
7 + 5 7 - 5 2 1 1
: . x = Or x = = =
4 4 4 2 2
12 3
=> = 3
4
: . মূল বোৰ হ'ল 3 আৰু ½ /
(ii) 2x² + x - 4 = 0
Answer :- a = 2 , b = 1 , c = - 4
: . b² - 4ac = (1)² - 4 × 2 × ( - 4 )
=> 1 + 32
=> 33 > 0
: . উক্ত সমীকৰণ টোৰ মূল বৰ্তে ।
2x² + x - 4 = 0
2 x² x 4 2
=> + - = 0
2 2 2
x
=> x² + = - 2 = 0
2
x
=> x² + = = 2
2
x 1² 1²
=> x² - + ( ) = 2 + ( )
2 4² 4²
1² 1
=> ( x + ) = 2 + ( )
4² 16
1² 32 + 1
=> ( x + ) = ( )
4² 16
1² 33
=> ( x + ) = 4² 16
1 √33
=> x + = ± 4 √16
1 √33
=> x + = ±
4 √4
1 √33
=> x = - ±
4 √4
- 1 ± √33
=> x =
4
- 1 + √33 - 1 - √33
: . x = Or x =
4 4
- 1 + √33 - 1 - √33
(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
Answer :- ইয়াত, a = 4, b = 4√3, c = 3
: . b² - 4ac = (4√3)² - 4×4×3
=> 16 × 3 - 16 × 3
=> 48 - 48 = 0
: . 4x² + 4√3x + 3 = 0
4 x² 4 √3x 4
3
=> x² + √3x = -
4
(√3)² - 3 (√3)²
=> x² + √3x + = + 2² 4 (2)²
(√3)² - 3 3
=> x + = + 2² 4 4
√3²
=> (x + ) = 0
2²
√3
=> x + = 0
2
- √3
=> x =
2
: . মূল দুটা হ'ল =
- √3
=
2
আৰু
- √3
/
2
(IV) 2x² + x + 4 = 0
Answer :- ইয়াত, a = 2, b = 1 , c = 4 ,
: . b² = 4ac = 1² - 4×2×4
=> 1 - 32
=> - 31 < 0
: . উক্ত সমীকৰণ টোৰ মূল নাই /
(V) x² + 4x + 1 = 0
Answer :- ইয়াত a = 1, b = 4, c = 1
: . b² - 4ac = 4² - 4.1.1
= 16 - 4
=> 12 > 0
উক্ত সমীকৰণটো মূল বৰ্তে ।
x² + 4x + 1 = 0
=> x² + 4x = - 1
=> x² + 4x + 2² = - 1 + 2²
=> (x + 2)² = 1 + 4
=> (x + 2)² = 3
=> x + 2 = ± √3
=> x = - 2 ± √3
: . x = - 2 + √2 or x = - 2 - √3
: . মূল দুটা হ'ল - ± √3 আৰু - 2 - √3 /
(VI) 4x² + x - 3 = 0
Answer :- ইয়াত a = 4, b = 1, c = - 3
: . b² - 4ac = 1² - 4.4.( - 3)
=> 1 + 48
=> 49
=> 49>0
: . উক্ত সমীকৰণ টোৰ মূল বৰ্তে।
4x² + x - 3 = 0
4x² x 3
=> + - = 0
4 4 4
x 3
=> x² + =
4 4
x
=> x² + + (⅛)² = ⅓ + (⅛)²
4
1
=> (x + ⅛)² = ¾ ±
64
1² 48 + 1 49
=> (x² + ) = =
8² 64 64
√49
=> (x + ⅛)² = ¾ ±
64
7
=> x + ⅛ = ¾ ±
8
- 1 7
=> x = ±
8 8
- 1 ± 7
=> x =
8
- 1 + 7 - 1 - 7
: . x = Or
8 8
6 3 - 8 1
=> = = = 1
8 4 8
: . মূল দুটা হ'ল ¾ আৰু - 1 /
2/ দ্বিঘাত সূত্র প্ৰয়োগ কৰি ওপৰৰ প্ৰশ্ন - 1 ত দিয়া দ্বিঘাত সমীকৰণ বোৰৰ মূল নিৰ্ণয় কৰা ।
মূল সূত্র : - ax² + bx + c = 0
দ্বিঘাত সূত্র :-
- b ± √b² - 4ac
x =
2a
=> যদি b² - 4ac < হয় তেন্তে দ্বিঘাত সমীকৰণ টোৰ কোনো মূল নাথাকিব ।
Q. 2.(i) 2x² - 7x + 3 = 0
Answer : - ইয়াত, a = 2, b = - 7 , c = 3
: . b² - 4ac = (-7) - 4×2×3
=> 49 - 24
=> 25 > 0
: . দ্বিঘাত সূত্র মতে,
- b ± √b² - 4ac
x =
2a
- (-7) ± √25
=>
2 × 2
7 ± 5
=>
4
7 + 5 7 - 5
: . x = or
4 4
3 1
12 2
: . x = =>
4 4 2
=> 3 => ½
: . মূল দুটা হ'ল 3 আৰু ½ /
(ii) 2x² + x - 4 = 0
Answer :- a = 2, b = 1, c = - 4
: . b² - 4ac = 1² - 4 × 2 × ( - 4)
=> 1 + 32
=> 33 > 0
দ্বিঘাত সূত্র মতে
- b ± √b² - 4ac
: . x =
2a
- 1 ± √33
=>
2 × 2
- 1 ± √33
=>
4
- 1 + √33 - 1 - √33
: . x or x =
2 × 2 4
- 1 + √33 - 1 - √33
: . মূল দুটা হ'ল আৰু /
2 × 2 4
(iii) 4x² + 4√3x + 3 = 0
Answer :- ইয়াত , a = 4, b = 5√3, c = 0
: . b² - 4ac = (4√3)² - 4 × 4 × 3
=> 16 × 3 - 48
=> 48 - 48
দ্বিঘাত সূত্র মতে
- b ± √b² - 4ac
x =
2a
- 4 √3
=>
8 2
- √3
=>
2
- 3 - 3
: . মূল দুটা হ'ল আৰু /
2 2
(iv) 2x² + x + 4 = 0
Answer :- ইয়াত a = 2, b = 1, c = 4 ,
: . b² - 4ac = 1² - 4×2×4
=> 1 - 32
=> - 13 < 0
: . উক্ত সমীকৰণটোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই /
(v) x + 4x + 1 = 0
Answer :- ইয়াত a = 1, b = 4 , c = 1
: . b² - 4ac = 4² - 4 × 1 × 1
=> 16 - 4
=> 12
=> 12 > 0
: . দ্বিঘাত সূত্র মতে
- b ± √ b² - 4ac
x =
2a
- 4 ± √ 12
=>
2 × 1
- 4 ± 2 √ 3
=>
2
2 (- 2 ± √ 3)
=>
2
: . x = - 2 + √3 or x = - 2 - √3
: . মূল দুটা হ'ল - 2 + √3 আৰু - 2 - √3 /
(vi) 4x² + x - 3 = 0
Answer :- ইয়াত, a = 4, b = 1, c = - 3 ,
: . b² - 4ac = 1² - 4 × 4 × (-3)
=> 1 + 16 × 3
=> 1 + 48
=> 49 > 0
: . দ্বিঘাত সূত্র মতে,
- b ± √ b² - 4ac
x =
2a
- 1 ± √ 49
=>
2 × 4
- 1 ± √ 3
=>
8
- 1 + 7 - 1 - 7
: . Or x =
4 8
3 1
6 - 8 : . x = =>
8 8
=> ¾ 4 => - 1
মূল দুটা হ'ল ¾ আৰু - 1 /
3/ তলৰ সমীকৰণ বোৰৰ মূল উলিওৱা :
1
(i) x - = 3 , x ≠ 0
x
Answer :- x × x - x × = 3 × x
x
=> x² - 1 = 3x
=> x² - 3x - 1 = 0
: . ইয়াত, a = 1, b = - 3, c = - 1 ,
: . b² - 4ac = ( - 3) - 4 × 1 × (-1)
=> 9 + 4
=> 13 > 0
: . দ্বিঘাত সূত্র মতে,
- b ± √ b² - 4ac
x =
2a
-(-3) ± √ 13
=>
2 × 1
3 ± √ 13
=>
2
3 + √13 3 - √13
: . Or x =
2 2
: . মূল দুটা হ'ল
3 + √13 3 - √13
: . আৰু /
2 2
1 1 11
(ii) - = , x ≠ 4 , 7
x + 1 x - 7 30
Answer :-
(x - 7) - (x + 4) 11
=
(x + 4) (x - 7) 30
x - 7 - x - 4 11
=> =
x (x + 7) 4 (x - 7) 30
1 1
- 11 11
=> =
x² - 7x + 4x - 28 30
- 1 1
=> =
x² - 3x - 28 30
=> x² - 3x - 28 = 30
=> x² - 3x - 28 - 30 = 0
=> x² - 3x + 2 = 0
=> x² - (2 + 1) x + 2 = 0
=> x² - 2x - x + 2 = 0
=> x(x - 2) - 1(x - 2) = 0
=> (x - 2) (x - 1) = 0
: . x - 2 = 0 or x - 1 = 0
=> x = 2 => x = 1
: . মূল দুটা হ'ল 2 আৰু 1 /
2 1
(iii) x² - x - 1 = 0
3 3
Answer :-
2 1 3 × x² - 3 × x - 3 × 1 = 0
3 3
=> 2x² - x - 3 = 0
=> 2x² - (3 - 2) x - 3 = 0
=> 2x² - 3x + 2x - 3 = 0
=> x (2x - 3) + 1 (2x - 3) = 0
=> (2x - 3) (x + 1) = 0
: . 2x - 3 = 0 or x + 1 = 0
=> 2x = 3 => x = - 1
3
=> x =
2
3
মূল দুটা হ'ল আৰু - 1 /
2
(iv) 2x² + ½ = 2x
Answer :- 2 × 2x² + 2 × ½ = 2 × 2x
=> 4x² + 1 = 4x
=> 4x² - 4x + 1 = 0
=> 4x² - (2 + 2)x + 1 = 0
=> 4x² - 2x - 2x + 1 = 0
=> 2x(2x - 1) - 1(2x - 1) = 0
=> (2x - 1) (2x - 1) = 0
: . 2x - 1 = 0 or 2x - 1 = 0
=> 2x = 1 => 2x - 1
=> x = ½ => x = ½
: . মূল দুটা হ'ল ½ আৰু ½ /
1
(v) x + = 2
x
1
Answer :- x × x + x × = 2 × x
x
=> x² + 1 = 1 = 2x
=> x² - 2x + 1 = 0
=> x² - (1 + 1)x + 1 = 0
=> x² - x - + 1 = 0
=> x(x - 1) - 1(x - 1) = 0
=> (x - 1) (x - 1) = 0
: . x - 1 = 0 or x - 1 = 0
=> x - 1 => 1
: . মূল দুটা হ'ল - 1 আৰু 1 /
5x - 6 2x + 3
(iv) =
4x - 1 3x + 2
Answer :- (5x - 6) (3x + 2) = (4x - 1) (2x + 3)
=> 5x(3x + 2) - 6(3x + 2) = 4x(2x + 3) - 1(2x + 3)
=> 15x² + 10x - 18x - 12 = 8x² + 12x - 2x - 3
=> 15x² - 8x - 12 = 8x² + 10x - 3
=> 15x² - 8x² - 8x - 10x - 12 + 3 = 0
=> 7x² - 18x - 9 = 0
=> 7x² - (21 - 3) x - 9 = 0
=> 7x² - 21x + 3x - 9 = 0
=> 7x(x - 3) + 3(x - 3) = 0
=> (x - 3) (7x + 3) = 0
: . x - 3 = 0 Or 7x + 3 = 0
=> x = 3 => 7x = - 3
- 3
=>
7
- 3
: . মূল দুটা হ'ল 3 আৰু /
7
4/ আজিজ পৰা 3 বছৰ আগৰ আৰু 5 বছৰ পিছত ৰহমানৰ বয়সৰ প্ৰতিক্ৰম বোৰৰ যোগফল ⅓ । তেওঁৰ বৰ্তমান বয়স উলিওৱা ।
Answer : - ধৰাহল ৰহমানৰ বৰ্তমানৰ বয়স = x
: . 3 বছৰ আগত : - তেওঁৰ বয়স = x - 3
5 বছৰ পিছত :- তেওঁৰ বয়স = x + 5
প্ৰশ্ন মতে
1 1 1
+ =
x - 3 x + 5 3
x + 5 + x - 3 1
=> =
(x - 3) (x + 5) 3
2x + 2 1
=> =
x(x + 5) - 3(x + 5) 3
2x + 2 1
=> =
x² + 5x - 3x - 15 3
2x + 2 1
=> =
x² + 2x - 15 3
=> x² + 2x - 15 = 6x + 6
=> x² + 2x - 6x - 15 - 6 = 0
=> x² - 4x - 21 = 0
=> x² - 4x - 21 = 0
=> x² - 7x + 3x - 21 = 0
=> x(x - 7) + 3(x - 7) = 0
=> (x - 7) (x + 3) = 0
: . x - 7 = 0 or x + 3 = 0
=> x = 7 => x = - 3 (অসম্ভৱ)
: . ৰহমানৰ বৰ্তমানৰ বয়স = 7 বছৰ /
5/ এটা শ্ৰেণী - পৰীক্ষাত শেৱালিৰ গণিতৰ নম্বৰ আৰু ইংৰাজীৰ নম্বৰ দুটাৰ যোগফল 30 । তাই যদি গণিতত আৰু 2 নম্বৰ বেছি আৰু ইংৰাজীত 3 নম্বৰ কম পালেহেঁতেন, এই নম্বৰ দুটাৰ পূৰণ ফল 210 হ'লহেতেন । তাইৰ বিষয় দুটাত পোৱা নম্বৰ বোৰ উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল গণিতত পোৱা নম্বৰ = x
আৰু ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = 30 - x
প্ৰশ্ন মতে (x + 2) (30 - x - 3) = 210
=> (x + 2) (27 - x) = 210
=> x(27 - x) + 2(27 - x) = 210
=> 27x - x² + 54 - 2x = 210
=> 25x - x² + 54 - 210 = 0
=> 25x - x² - 156 = 0
=> - x² + 25x - 156 = 0 ( - ) ৰে পূৰণ কৰি
=> x² - 25x + 156 = 0
=> x² - (12 + 13)x + 156 = 0
=> x² - 12x - 13x + 156 = 0
=> x(x - 12) - 13(x - 12) = 0
=> (x - 12) (x - 13) = 0
: . x - 12 = 0 or x - 13 = 0
=> x = 12 => x = 13
যদি x = 12
তেন্তে গণিতত পোৱা নম্বৰ = 12
আৰু ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = 30 - 12
=> 12
যদি x = 13
তেন্তে গণিতত পোৱা নম্বৰ = 13
আৰু ইংৰাজীত পোৱা নম্বৰ = 30 - 13 = 17 /
6/ এখন আয়তাকাৰ পথাৰৰ কৰ্নৰ দীঘ ইয়াৰ চুটি বাহুটোতকৈ 60 মিটাৰ বেছি । যদি দীঘল বাহুটো চুটি বাহুটোতকৈ 30 মিটাৰ বেছি পথাৰখনৰ বাহু দুটাৰ দীঘ উলিওৱা /
Answer :- ধৰাহল চুটি বাহুটোৰ দীঘ (BC) = x
কৰ্নৰ দীঘ (AC) = x + 60
আৰু দীঘল বাহুৰ দীঘ (AB) = x + 30 A
: . ABC ত, পাইথাগোৰচৰ সূত্র মতে,
AB² + BC² = AC²
=> (x + 30)² + x² = (x + 60)²
=> x² + 2.x.30 + 30² + x² = x² + 2.x.60 + 60²
=> 60x + 900 + x² = 120x + 3600
=> x² + 60x + 900 - 120x - 3600 = 0
=> x² - 60x - 2700 = 0
=> x² - (90 - 30) x - 2700 = 0
=> x² - 90x + 30x - 2700 = 0
=> x(x - 90) + 30(x - 90) = 0
=> (x - 90) (x + 30) = 0
: . x - 90 = 0 Or x + 30 = 0
=> x = 90 => x = - 30 (অ সম্ভৱ)
: . পথাৰ খনৰ চুটি বাহুৰ দীঘ= 90cm
আৰু দীঘল বাহুটোৰ দীঘ = 90 + 30 = 120 /
7/ এটা সংখ্যাৰ বৰ্গৰ পাৰ্থক্য 180 । সৰু সংখ্যা টোৰ বৰ্গ ডাঙৰ সংখ্যা টোৰ 8 গুণ । সংখ্যা দুটা উলিওৱা ।
Answer :- ধৰা হ'ল ডাঙৰ সংখ্যাটো = x
আৰু সৰু সংখ্যা টোৰ বৰ্গ = 8x
প্ৰশ্ন মতে, x² - 8x = 180
=> x² - 8x - 180 = 0
=> x² - (18 - 10) x - 180 = 0
=> x(x - 18) + 10(x - 18) = 0
=> (x - 18) (x + 10) = 0
: . x - 18 = 0 Or x + 10 = 0
=> x = 18 => x = - 10 (অ সম্ভৱ)
: . ডাঙৰ সংখ্যা টো হ'ল = 18
আৰু সৰু সংখ্যা টো = √8 × 18 = √144 = 12 /
8/ এখন ৰে'লগাড়ীয়ে সমান দ্ৰুতিত 360 কি, মি, ভ্ৰমণ কৰে । যদি ইয়াৰ দ্ৰুতি ঘন্টাত 5 কি, মি, বেছি হ'লহেতেন, ই একেটা ভ্ৰমণৰ সময় 1 ঘন্টা কম ল'লেহেতেন । ৰে'লগাড়ীখনৰ দ্ৰুতি উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল ৰেল গাড়ীখনৰ দ্ৰুতি = x km/hr
দূৰত্ব 360
: . সময় = = ঘন্টা
দ্ৰুতি x
যদি দ্ৰুতি 5 km বেছি হয়, তেন্তে দ্ৰুতি = x + 5 km/hr
360
: . সময় লয় = ঘন্টাত
x + 5
প্ৰশ্ন মতে
360 360
= = 1
x x + 5
1 1
=> 360 - = 0
x x + 5
x + 5 - x
=> 360 ( ) = 1
x(x + 5)
1800
=> = 1
x² + 5x
=> x² + 5x = 1800
=> x² + 5x - 1800 = 0
=> x² + (45 - 40)x - 1800 = 0
=> x² + 45x - 1800 = 0
=> x(x + 45) - 40(x + 45) = 0
=> (x + 45) (x - 40) = 0
: . x + 45 = 0 Or x - 40 = 0
=> x = - 45 (অ সম্ভৱ) => x = 40
: . ৰেল গাড়ীখনৰ দ্ৰুতি = 40 km/hr /
8
ব্যাসৰ নলীটোয়ে সৰু ব্যাসৰ নলীটোতকৈ 10 ঘন্টা সময় কম লয় । প্ৰত্যেকটো নলীয়ে বেলেগ বেলেগ কিমান সময়ত চৌবাচ্চাটো পূৰ কৰিব পাৰিব উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল সৰু নলীটো সময় লয় = x ঘন্টা
আৰু ডাঙৰ নলীটো সময় লয় = x - 10 ঘন্টা
3 75
: . দুটা নলী একে লগে পূৰ কৰিবলৈ সময় = 9 ঘন্টা => ঘন্টা
8 8
: . 1 ঘন্টা পূৰ কৰে
1
সৰু নলী =
x
1
ডাঙৰ নলী =
x - 10
8
আৰু একে লগে =
75
1 1 8
প্ৰশ্ন মতে, + =
x x + 10 75
x - 10 + x 8
=> =
x(x - 5) 75
2x - 10 8
=> =
x² - 10x 75
=> 8x² - 80 = 150x - 750
=> 8x² - 80 - 150x + 750 = 0
=> 8x² - 230x + 750 = 0
=> 2(4x² - 115x + 375) = 0
=> 4x² - 115x + 375 = 0
=> 4x² - (100 + 15)x + 375 = 0
=> 4x² - 100x - 15x + 375 = 0
=> 4x(x - 25) - 15(x - 25) = 0
=> (x - 25) (4x - 15) = 0
: . x - 25 = 0 Or 4x - 15 = 0
15 3
=> x = 25 => x = 3 (অ সম্ভৱ)
4 4
: . সৰু নলীটোক সময় লাগে = 25 ঘন্টা ।
আৰু ডাঙৰ নলীটোক সময় লাগে = 25 - 10 = 15 ঘন্টা /
10/ মহীশূৰ আৰু বাংগালোৰৰ মাজত 132 কি: মি: পথ ভ্ৰমণ কৰিবলৈ এখন দ্ৰুতবেগী ৰে'লগাড়ী এখন যাএীবাহী ৰে'লগাড়ীতকৈ 1 ঘন্টা সময় কম লয় । (মাজৰ ষ্টেছনবোৰত সিহঁতে ৰোৱা সময়খিনি নকৰাকৈ) । যদি দ্ৰুতবেগী ৰে'লগাড়ীখনৰ গড় দ্ৰুতি যাএীবাহী ৰে'লগাড়ীতকৈ ঘন্টাত 11 কি, মি, বেছি, ৰে'লগাড়ী দুখনৰ গড় দ্ৰুতি উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল যাত্ৰীবাহী ৰে'ল গাড়ীখনৰ দ্ৰুতি x km/hr
দূৰত্ব 132
: . সময় = = ঘন্টা
দ্ৰুতি x
: . দ্ৰত বেগী ৰেল গাড়ীখনৰ দ্ৰুতি = x + 11 km/hr
132
: . সময় = ঘন্টা
x + 11
প্ৰশ্ন মতে
132 132
- = 1
x x + 11
1 1
=> 132 ( - )
x x + 11
x + 11 - x
=> 132 ( ) = 1
x(x + 11)
1452
=> = 1
x² + 11x
=> x² + 11x = 1452
=> x² + 11x - 1452 = 0
=> x² (44 - 33) x - 1442 = 0
=> x² + 44x - 33x - 1452 = 0
=> x(x + 44) - 33(x + 44) = 0
=> (x + 44) (x - 33) = 0
: . x + 44 = 0 Or x - 33 = 0
=> x = - 44 (অসম্ভৱ) => x = 33
: . যাত্রীবাহী ৰে'ল গাড়ীখনৰ দ্ৰুতি = 33 km/hr
আৰু দ্ৰুত বেগী ৰেল গাড়ীখনৰ দ্ৰুতি = 33 + 11 = km/hr /
11/ দুটা বৰ্গৰ কালিৰ যোগফল 468 বৰ্গমিটাৰ । যদি সিহঁতৰ পৰিসীমা পাৰ্থক্য 24 মিটাৰ, বৰ্গ দুটাৰ বাহুৰ পৰিমাণ উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল সৰু বৰ্গ টোৰ বাহু = x
: . পৰিসীমা = 4x
আৰু ডাঙৰ বৰ্গৰ পৰিসীমা = 4x + 24
4x + 24
: . ডাঙৰ বৰ্গৰ বাহু =
4
4(x + 6)
=> = x + 6
4
প্ৰশ্ন মতে, x² + (x + 6)² = 468
=> x² + x² + 2.x.6 + 6² = 468
=> 2x² + 12x + 36 - 468 = 0
=> 2x² + 12x - 432 = 0
=> 2(x² + 6x - 216) = 0
=> x² + 6x - 216 = 0
=> x² + (18 + 12) x - 216 = 0
=> x² + 18x - 12x - 216 = 0
=> x(x + 18) - 12 (x + 18) = 0
=> (x + 18) (x + 12) = 0
: . x + 18 = 0 Or x - 12 = 0
=> x = - 18 => x = 12
: . সৰু বৰ্গ টোৰ বাহু = 12m
আৰু ডাঙৰ বৰ্গ টোৰ বাহু = 12 + 6 = 18m /
অনুশীলনী 4.4
1/ তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ বোৰৰ মূলবোৰৰ প্ৰকৃতি নিৰ্ণয় কৰা। যদি বাস্তৱ মূল থাকে, তেন্তে সেইবোৰ উলিওৱা ।
মনত ৰাখিব লগীয়া কথা। :-
(i) দুটা স্পষ্ট (ভিন্ন) বাস্তৱ মূল আছে, যদি b² - 4ac > 0
(ii) দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে, যদি b² - 4ac = 0
(iii) কোনো বাস্তৱ মূল নাই যদি b² - 4ac < 0 .
(i) 2x² - 3x + = 0
Answer :- ইয়াত a = 2 , b = - 3 , c = 5
: . b² - 4ac
=> ( - 3)² - 4 × 2 × 5
=> 9 - 40
=> - 31 < 0
: . প্ৰদত্ত সমীকৰণ যোৰৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই ।
(ii) 3x² - 4√3x + 4 = 0
Answer :- ইয়াত a = 3, b = - √3 , c = 4
: . b² - 4ac
=> (- 4 √3)² - 4 × 3 × 4
=> 16 × 3 - 16 × 3
=> 48 - 48
=> 0
প্ৰদত্ত সমীকৰণ টোৰ সমান বাস্তৱ মূল থাকিব।
: . দ্বিঘাত সূত্র মতে,
- b ± √ b² - 4ac
x =
2a
- ( - 4√3) ± √ 0
=
2 × 3
2
4 √3
=
6
3
2√ 3
=
√3 × √ 3
2
=
√3
2 2
: . মূল দুটা হ'ল আৰু /
√3 √3
(iii) 2x² - 6x + 3 = 0
Answer :- ইয়াত a = 2, b = - 6, c = 3 ,
: . b² - 4ac
=> ( - 6)² - 4 × 2 × 3
=> 36 - 24
=> 12 > 0
: . প্ৰদত্ত সমীকৰণ টোৰ দুটা স্পষ্ট বাস্তৱ মূল থাকিব ।
- b ± √ b² - 4ac
x =
2a
- ( - 4√3) ± √ 0
=
2 × 3
- ( - 6) + √12
=
2 × 2
6 ± 2√3
=
4
2 (3 ± √3)
=
4 2
3 ± √3
=
2
3 + √3 3 - √3
: . x = Or x =
2 2
3 + √3 3 - √3
: . মূল দুটা হ'ল আৰু /
2 2
(iv) 9x² - 6x + 1 = 0
Answer :- ইয়াত a = 9, b = 6, c = 1 ,
: . b² - 4ac
=> ( - 6)² - 4 × 9 × 1
=> 36 - 36
=> 0
: . প্ৰদত্ত সমীকৰণ টোৰ দুটা বাস্তৱ মূল আছে ।
- b ± √ b² - 4ac
x =
2a
- ( - 6) ± √ 0
=
2 × 9
6 1
=
18 3
1
=
3
: . দুটা হ'ল ⅓ আৰু - ⅓ /
(v) 3x² - 5x + 12 = 0
Answer :- ইয়াত a = 3, b = - 5, c = 12
: . b² - 4ac
=> ( - 5)² - 4 × 3 × 12
=> 25 - 144
=> - 119 < 0
: . প্ৰদত্ত সমীকৰণ টোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই /
(vi) x² + x + 1 = 0
Answer :- ইয়াত a = 1, b = 1, c = 1
: . b² - 4ac
=> 1² - 4 × 1 × 1
=> 1 - 4
=> - 3 < 0
: . সমীকৰণ টোৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই /
(vii) x² - 2√3x - 9 = 0
Answer :- ইয়াত a = 1, b = - 2√3, c = - 9 ,
: . b² - 4ac
=> ( - 2 √3)² - 4 × 1 × ( - 9)
=> 4 × 3 + 36
=> 12 + 36
=> 48 > 0
: . প্ৰদত্ত সমীকৰণ টোৰ দুটা স্পষ্ট বাস্তৱ মূল আছে
- b ± √ b² - 4ac
x =
2a
- ( - 2√3) ± √48
=
2 × 1
2√3 + 4√3
=
2
2 √3 ( 1 ± 2)
=
2
=> √3 ( 1 ± 2)
: . x(1 + 2) Or x = √3 (1 - 2)
=> √3 × 3 => √3 ( -1)
=> 3√3 => - √3
: . মূল দুটা হ'ল 3√3 আৰু - √3 /
2/ তলৰ দ্বিঘাত সমীকৰণ বোৰৰ প্ৰতিটোৰে ক্ষেত্রত kৰ মান উলিওৱা, যাতে সিহঁতৰ দুটাকৈ (সমান) বাস্তৱ মূল থাকে .।
(i) 2x² + kx + 3 = 0
Answer :- ইয়াত a = 2, b = k, c = 3 ,
যিহেতু, প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণ টোৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে ।
: . b² - 4ac = 0
=> k² - 4 × 2 × 3 = 0
=> k² - 24 = 0
=> k² = 24
=> k = ± √24
=> k = ± 2√6 /
(ii) kx (x - 2) + 6 = 0
Answer :- kx² - kx + 6 = 0
ইয়াত, a = k, b = - 2k, c = 6
যিহেতু, প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণ টোৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে।
b² - 4ac = 0
=> (- 2k)² - 4 × k × 6
=> 4k² - 24k = 0
=> 4k² = 24k
=> 4k = 24
24 6
=
4
k = 6 /
(iii) x² - (k + 4)x + 2k + 5 = 0
Answer :- ইয়াত, a = 1, b = -(k + 4) , c = 2k + 5 = 0
: . প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণ টোৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে।
: . b² - 4ac = 0
=> { - (k + 4)² - 4 × 1 × (2k + 5) = 0
=> (k + 4)² - 4(2k + 5) = 0
=> k² + 2.k.4 + 4² - 8k - 20 = 0
=> k + 8k + 16 - 8k - 20 = 0
=> k² - 4 = 0
=> k = ± √4
=> k = ± 2 /
(iv) 2x² + 8x - 2(k - 12)x + 2 = 0
Answer :- ইয়াত, a = 2, b = 8 , c = -k³
: . প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণ টোৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে ।
b² - 4ac = 0
=> 8² - 4 × 2 × ( - k³) = 0
=> 64 + 8k³ = 0
=> 8k³ - 64
- 64 8
=> k =
8
=> k³ = - 8 (k ৰ কিয়ুপ আঁতৰাবলৈ ঘন মূল উলিয়াব লাগিব)
=> k = - 3√8
=> = - 2 /
(v) (k - 3)x² + 6x + 9 = 0
Answer :- ইয়াত, a = k - 3 , b = 6, c = 9 ,
: . প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণ টোৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে ।
: . b² - 4ac = 0
=> 6² - 4 × (k - 3) × 9 = 0
=> 36 - 36(k - 3) = 0
=> - 36(k - 3) = 36
- 36 1
=> k - 3 = 1
- 36
=> k = 1 + 3
=> k = 4 /
(vi) (k - 12)x² + 2(k - 12)x + 2 = 0
Answer :- ইয়াত, a = k - 12, b = 2(k - 12) , c = 2 ,
: . প্ৰদত্ত দ্বিঘাত সমীকৰণ টোৰ দুটা সমান বাস্তৱ মূল থাকে ।
: . b² - 4ac = 0
=> {2(k - 12)² - 4 × (k - 12) × 2 = 0
=> 4(k - 12)² - 8(k - 12) = 0
=> 4(k - 12)² = 8(k - 12)
2
8 (k 12)
=> (k - 12) (k - 12)
4
2( k 12) => (k - 12)
( k 12 )
=> k = 2 + 12
=> k = 14 /
3/ প্ৰস্থতকৈ দীঘ দুগুন হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ আমৰ বাগিছাৰ চানেকি প্ৰস্তত কৰাটো সম্ভৱ হ'বনে যাতে ইয়াৰ কালি 800 বৰ্গ মিটাৰ হয় ? যদি সম্ভৱ, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল, আয়তাকাৰ বাগিছা খনৰ প্ৰস্থ = x, আৰু দীঘ = 2x
দিয়া আছে, কালি 800 m²
=> দীঘ × প্ৰস্থ = 800 m²
=> 2x × x = 800
=> 2x² - 800 = 0
ইয়াত a = 2, b = 0 , c = - 800
: . b² - 4ac
=> 0² - 4 × 2 × ( - 800)
=> 0 + 6400
=> 6400>0
ইয়াত দুটা স্পষ্ট বাস্তৱ মূল আছে ।
: . আয়তাকাৰ বাগিছাৰ চানেকি প্ৰস্তত কৰাটোৱ সম্ভৱ হ'ব।
এতিয়া 2x² - 800 = 0
=> 2x² = 800
400
400 => k² =
2
=> x² = 400
=> x ± √400
=> x = ± 200
: . x = 20 আৰু x = - 20 (অসম্ভৱ)
: . আয়তাকাৰ বাগিছা খনৰ চানেকিৰ প্ৰস্থ = 20 m
আৰু দীঘ = 2 × 20 = 40 m /
4/ তলৰ পৰিস্থিতি টো সম্ভৱ হয়নে ? যদি হয়, তেওঁলোকৰ বৰ্তমান বয়স নিৰ্ণয় কৰা । দুজন বন্ধুৰ বয়সৰ সমষ্টি 20 বছৰ । চাৰি বছৰ আগতে তেওঁলোকৰ বয়সৰ পূৰণফল (আছিল) 48 ।
Answer :- ধৰাহল এজন বন্ধুৰ বৰ্তমান বয়স = x
আৰু আনজন বন্ধুৰ বয়স = 20 - x
4 বছৰ আগতে এজন বন্ধুৰ বয়স = x - 4 => 16 - x
প্ৰশ্ন মতে (x - 4) (16 - x) = 48
=> x(16 - x) - 4(16 - x) = 48
=> 16x - x² - 64 + 4x = 48
=> 20x - x² - 64 - 48 = 0
=> - x² + 20x - 112 = 0
=> x² - 20x + 122 = 0
: . ইয়াত, a = 1, b = - 20, c = 112
: . b² - 4ac
=> ( - 20)² - 4 × 1 × 112
=> 400 - 448
=> 48<0
: . ইয়াৰ কোনো বাস্তৱ মূল নাই ।
: . উক্ত পৰিস্থিতি টো অসম্ভৱ /
5/ পৰিসীমা 80 মিটাৰ আৰু কালি 400 বৰ্গ মিটাৰ হোৱাকৈ এখন আয়তাকাৰ উদ্যানৰ চানেকি কৰাটো সম্ভৱনে ? যদি হয়, ইয়াৰ দীঘ আৰু প্ৰস্থ উলিওৱা ।
Answer :- ধৰাহল চানেকি খনৰ দীঘ = x
কালি 400
আৰু চানেকি খনৰ প্ৰস্থ = =
দীঘ x
প্ৰশ্ন মতে, পৰিসীমা = 80 m
=> 2 (দীঘ × প্ৰস্থ) = 80
400 80
=> x + =
x 2
x² + 400
=> x + = 40
x
=> x² + 400 = 40x
=> x² - 40x + 400 = 0
=> ইয়াত, a = 1, b = - 40 , c = 400
: . b² - 4ac
=> (- 40)² - 4 × 1 × 400
=> 1600 - 1600
=> 0
ইয়াত দুটা সমান বাস্তৱ মূল আছে ।
এতিয়া, x² - 40 + 400 = 0
=> x² - 2 × x × 20 + 20² = 0
=> (x - 20) (x - 20) = 0
: . চানেকি খনৰ দীঘ = 20 m
20
400
আৰু প্ৰস্থ = = 20 m /
20
