পঞ্চম অধ্যায় দশম শ্ৰেণীৰ সমান্তৰ প্ৰগতি
প্ৰশ্ন উত্তৰ সমূহ
অনুশীলনী 5.1
1/ তলৰ পৰিস্থিতি বিলাকৰ লগত জড়িত সমস্যাৰ তালিকাবিলাকৰ কোনবিলাকে সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিব আৰু কিয় কৰিব ?
(i) প্ৰথম কিলোমিটাৰত টেক্সি ভাড়া 15 টকা আৰু তাৰ পিছত প্ৰতি অতিৰিক্ত কিলোমিটাৰত 8 টকাকৈ হ'লে কিলোমিটাৰৰ অন্তত টেক্সিৰ ভাড়া ।
Answer :- প্ৰশ্ন মতে 1 km ৰ ভাড়া(a 1) = 15 টকা
2 km ৰ ভাড়া (a 2) = 15 + = 23 টকা
3km ৰ ভাড়া (a 3) = 23 + 8 = 31 টকা ইত্যাদি ।
যিহেতু, a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = ..... = 8
: . উক্ত পৰিস্থিতিটো সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে /
(ii) এটা গেছ চিলিণ্ডাৰৰ পৰা ভেকুৱাম পাম্প এটাই এবাৰত চিলিণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ ¼ অংশ নিষ্কাশন কৰিলে সেই চিলিণ্ডাৰটোত প্ৰতিবাৰ নিস্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ুৰ পৰিমাণ ।
Answer :- ধৰাহল চিলিণ্ডাৰত থকা বায়ুৰ পৰিমাণ (a 1) = x একক ।
: . প্ৰতিবাৰ নিস্কাশনৰ পিছত ৰৈ যোৱা বায়ুৰ পৰিমাণ বোৰ হ'ল --
4x - x 3x
a2 = x - ¼ = =
4 4
3x 1 32 3x 3x 12x - 3x 9x
a 3 = - . = - = = etc....
4 4 4 4 16 16 16
যিহেতু, a2 - a1 ≠ a3 - a2
: . উক্ত পৰিস্থিতি টো সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে ।
(iii) এটা কুঁৱা খান্দোতে প্ৰথম মিটাৰৰ খৰছ 150 টকা আৰু তাৰ পিছত প্ৰতি মিটাৰত 50 টকা কৈ লাগিলে প্ৰতি মিটাৰ খন্দাৰ পিছত কুঁৱা খন্দাৰ খৰচ ।
Answer :- প্ৰশ্ন মতে 1 m খন্দা খৰছ(a1) = 150 টকা ।
2 m খন্দা খৰছ (a2) = 150 + 50 = 200 টকা
3 m ,, ,, (a3) 200 + 50 = 250 টকা ইত্যাদি।
যিহেতু, a2 - a1 = a3 - a2 = ....... = 50
: . উক্ত পৰিস্থিতি টো সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে।
(iv) 10000 টকা বছৰি 8% মিশ্ৰ সুতৰ (compound interest) হাৰত জমা কৰিলে সেই একাউন্টত প্ৰতি বছৰে থাকিব লগা ধনৰ পৰিমাণ ।
8
Answer :- প্ৰথম বছৰৰ পিছত ধন থাকিব (a1) = 10000 ( 1 + )
100
8²
দ্বিতীয় বছৰৰ পিছত ধন থাকিব (a2) = 10000 ( 1² + )
100²
8³
2/ যদি প্ৰথম পদ a আৰু সাধাৰণ অন্তৰ d তলত দিয়া ধৰনৰ, তেন্তে প্ৰতিটো AP ৰে প্ৰথম চাৰিটা পদ লিখা :
(i) a = 10, d = 10
Answer :- দিয়া আছে a = 10, d = 10
: . a1 = a = 10
a2 = a1 + d = 10 + 10 = 20
a3 = a2 + d = 20 + 10 =30
a4 = a3 + d = 30 + 10 = 40
: . প্ৰথম চাৰিটা পদ হ'ল 10, 20, 30, 40 /
(ii) a = - 2, d = 0
Answer :- দিয়া আছে, a = - 2, d = 0
: . a1 = a = - 2
a2 = a1 + d = - 2 + 0 = - 2
a3 = a2 + d = - 2 + 0 = - 2
a4 = a3 + d = - 2 + 0 = - 2
: . প্ৰথম চাৰিটা পদ হ'ল - - 2 , - 2, 2 - 2 /
(iii) a = 4, d = - 3
Answer :- দিয়া আছে a = 4 , d = - 3
a1 = a = 4
a2 = a1 + d = 4 + ( - 3) = 4 - 3 = 1
a3 = a2 + d = 1 + (- 3) = 3 = - 2
a4 = a3 + d = - 2 + ( -3) = - 2 , - 3 = - 5
: . প্রথম চাৰিটা পদ হ'ল ---- 4, 1, - 2, - 5 /
(iv) a = - 1, d = ½
Answer :- দিয়া আছে a = - 1 , d = ½
: . a1, = a = - 1
- 2 + 1 - 1
a2 = a1 + d = - 1 + ½ = =
2 2
a3 = a2 + d = ½ + ½ = 0
a4 = a3 + d + = 0 + ½ = ½
: . প্ৰথম চাৰিটা পদ হ'ল -- - 1 , - ½ , 0 , ½ /
(v) a = - 1.25, d = - 0.25
Answer :- দিয়া আছে a = - 1.25, d = - 0.25
a1 = a = - 1.25
a2 = a1 + d = - 1.25 + ( -0. 25) = - 1.25 - 0.25
=> - 1.20
a3 = a2 + d = - 1.50 + ( - 0.25) = - 1.50 - 0.25
a4 = a4 + d = - 1.75 ( - 0.25) = - 1.75 - 0.25
=> - 2.00
: . প্ৰথম চাৰিটা পদ হ'ল - 1.25, - 1.50, - 1.57, - 2 /
3/ তলত দিয়া সমান্তৰ প্ৰগতি সমূহৰ প্ৰথম পদ আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা :
(i) 3, - 1, - 3 ......
Answer :- ইয়াত, প্ৰথম পদ (a) = 3
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a2 - a1
=> 1 - 3 = - 2 /
(ii) - 5, - 1, 7 ,......
Answer :- ইয়াত প্রথম পদ (a) = - 5
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a2 - a1
=> - 1 ( - 5)
=> 4 /
1 5 9 13
(iii) , , , .........
3 3 3 3
Answer :- ইয়াত প্ৰথম পদ (a) = ⅓
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a2 - a1
5 1 3 + 1 4
= - = =
3 3 3 3
(iv) 0.6, 17, 28, 39, ....
Answer :- ইয়াত প্ৰথম (a) = 0.6
সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a2 - a1 = 1.7 - 0.6
=> 1.1 /
4/ তলৰ কোনবোৰ সমান্তৰ প্ৰগতত আছে ? যিবিলাক সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰিছে তাৰ প্ৰতিটোৰে সাধাৰণ অন্তৰ d নিৰ্ণয় কৰা পৰবৰ্তী তিনিটাকৈ পদ নিৰ্ণয় কৰা ।
(i) 2, 4, 8, 16 ........
Answer :- ইয়াত a2 - a1 = 4 - 2 = 2
a3 - a2 = 8 - 4 = 4
a4 - a3 = 16 - 8 = 8
: . a2 - a1 ≠ a3 - a2 ≠ a4 - a3
গতিকে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে /
5 7
(ii) 2, , 3 ........
2 3
5 5 - 4
Answer :- ইয়াত a1 - a2 = - 2 = = ½
2 2
- 5 6 - 5 1
a3 - a2 = 3 = =
2 2 2
7 7 - 6 1
a4 - a3 = - 3 = =
2 2 2
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = ...... ½
গতিকে, প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে ।
: . সাধাৰণ অন্তৰ (d) = ½
7 1 7 + 1 8 4
: . a5 = a4 + d = 3 + = = = 4
2 2 2 2
8 + 1 9
a6 = a5 + d = 4 + ½ = =
2 2
9 1 1 9 + 1 10 4
a7 = a6 + d = + + = = = 5 /
2 2 2 2 2
(iii) - 1.2, - 3.2, - 5.2, - 7.2 ........
Answer :- ইয়াত
a2 - a1, = - 3.2 + 1.2 = 2.0
a3 - a2 = - 5.2 + 3.2 = 2.0
a4 - a3 = - 7.2 + 5.2 = - 2.0
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = - 2.0
গতিকে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে
: . সাধাৰন অন্তৰ (d) = - 2.0
: . a5 = a4 + d = - 7.2 + ( - 2) = - 7.2 - 2 = 9.2
a6 = a5 + d = - 9.2 + ( - 2.0) = 9.2 - 2.0 = - 11.2
a7 = a6 + d = - 11.2 + ( - 2.0) = 11.2 - 2.0 = 13.2 /
(iv) - 10, - 6 - 2, 2 , .......
Answer :- a2 - a1 = - 6 + 10 = 0
a3 - a2 = - 2 + 6 = 4
a4 - a3 = 2 + 2 = 4
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = 4
গতিকে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে
: . সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 4
: . a5 = a4 + d = 2 + 4 = 6
a6 = a5 + d = 6 + 4 = 10
a7 = a6 + d = 10 + 4 = 14 /
(v) 3, 3 + √2, 3 + 2√2 , 3 + 3√2 , ........
Answer : - ইয়াত a2 - a1 = 3 + √2 - 3 = √2
a3 - a2 = 3 + 2√2 - ( 3 + √2 ) = 3 + 2√2 - 3 - √2 = √2
a4 - a3 = 3 + 3√2 - (3 + 2√2) = 3 + 3√2 - 3 - 2√2 = √2
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = √2
গতিকে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে
: . সাধাৰণ অন্তৰ (d) = √2
: . a5 = a4 + d = 3 + 3√2 + √2 = 3 + 4√2
a6 = a5 + d = 3 + 4√2 + √2 = 3 + 5√2
a7 = a6 + d = 3 + 5√2 + √2 = 3 + 6√2 /
(iv) 0.2 , 0.22, 0.222, 0.2222, .......
Answer :- ইয়াত,
a2 - a1 = 0.22 - 0.2 = 0.02
a3 - a2 = 0.222 - 0.22 = 0.002
a4 - a3 = 0.2222 - 0222 = 0.0002
: . a2 - a1 ≠ a3 - a2 ≠ a4 - a3
গতিকে, প্ৰদত্ত তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে /
(vii) 0, - 4, - 8, - 12, .......
Answer :- a2 - a1 = - 4 - 0 = - 4
a3 - a2 = - 8 + 4 = - 4
a4 - a3 = 12 + 8 = - 4
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = - 4
গতিকে, প্ৰদত্ত তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে ।
: . সাধাৰণ অন্তৰ (d) = - 4
: . a5 = a4 + d = - 12 + ( - 4) = - 12 - 4 = 16
a6 = a5 + d = - 16 + ( - 4) = 16 - 4 - 20
a7- a6 + d = 20 + ( - 4) = 20 - 4 = - 24 /
(viii) - ½ , - ½ , - ½ , - ½ , .......
Answer :- ইয়াত a2 - a1, - ½ + ½ = 0
a3 - a2 = - ½ + ½ = 0
a4 - a3 = - ½ + ½ = 0
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = 0
গতিকে, প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে ।
: . সাধাৰণ অন্তৰ (d) = 0
: . a4 + d = - ½ + 0 = - ½
a6 = a5 + d - ½ + 0 = - ½ /
(ix) 1, 3, 9, 27, ......
Answer :- ইয়াত, a2 - a1 = 3 - 1 = 2
a3 - a2 = 9 - 3 - 6
a4 - a3 = 27 - 9 = 18
: . a2 - a1 ≠ a3 - a2 ≠ a4 - a3
গতিকে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে /
(x) a, 2a, 3a, 4a, ......
Answer :- a2 - a1 = 2a - a = a
a3 - a2 = 3a - 2a = a
a4 - a3 = 4a - 3a = a
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = a
গতিকে প্ৰদত্ত তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে ।
: . সাধাৰণ অন্তৰ (d) = a
: . a5 = a4 + d = 4a + a = 5a
a6 = a5 + d = 5a + a = 6a
a7 = a6 + d = 6a + a = 7a /
(xi) a, a² , a³, a⁴, .....
Answer :- a2 - a1 = a² - a(a - 1)
a3 - a2 = a² - a² = a² (a - 1)
a4 - a3 = a⁴ - a³ = a³ (a - 1)
: . a2 - a1 ≠ a3 - a2 ≠ a4 - a3
গতিকে প্ৰদত্ত তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে /
(xii) √2 , √8 , √18 , √32 ......
Answer :- ইয়াত a2 - a1 = √8 - √2 = 2√2 - √2 = √2
a3 - a2 = √18 - √8 = 3√2 - 2√2 = √2
a4 - a3 = 3√2 - √18 = 4√2 - 3√2 = √2
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = √2
গতিকে, প্ৰদত্ত তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে ।
: . সাধাৰণ অন্তৰ(d) = √2
: . a5 = a4 + d = √32 + √2 = 4√2 + √2 = 5√2 = 50
a7 = a6 + d √72 + 2 = 6√2 + √2 = 7√2 = √98 /
(xiii) √3 , √6 , √9 , √12 .......
Answer :- ইয়াত
a2 - a1 = √6 - √3 = √3 × 2 - √3 = √3 = √3 (√2 - 1)
a4 - a3 = √12 - √9 = √4 × 3 - √3 × 3 = √3(√4 - √3)
: . a2 - a1 ≠ a3 - a2 ≠ a4 - a3
গতিকে, প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে /
(xiv) 1² , 3² , 5² , 7²
Answer :- সন ইয়াত
a2 - a1 = 3² - 1² = 9 - 1 = 8
a3 - a2 = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
a4 - a3 = 7² - 5² = 49 - 25 = 24
: . a2 - a1 ≠ a3 - a2 ≠ a4 - a3
শন গতিকে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন নকৰে /
(XV) 1² , 5² , 7² , 73 ....
Answer :- a2 - a1 = 5² - 1² = 25 - 1 = 24
a3 - a2 = 7² - 5² = 49 - 25 = 24
a4 - a3 = 75 - 49 = 24
: . a2 - a1 = a3 - a2 = a4 - a3 = 24
গতিকে প্ৰদত্ত সংখ্যাৰ তালিকাই সমান্তৰ প্ৰগতি গঠন কৰে ।
: . a5 = a4 + d = 75 + 24 = 97
a6 = a5 + d = 97 + 24 = 121
a7 = a6 + d 121 + 24 = 145 /
অনুশীলনী 5.2
* n তম পদ :-
a = a + (n - 1) d
n
a = n তম পদ, a = প্ৰথম পদ, d = সাধাৰণ অন্তৰ, n = পদৰ সংখ্যা ।
n
1/ দিয়া আছে যে সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্ৰথম পদ a, সাধাৰণ অন্তৰ d ,
আৰু n তম পদ a । তলৰ তালিকা খনৰ খলী ঠাই সমূহ
n
পূৰণ কৰা ।
(i) দিয়া আছেa = 7 , d = 3 , n = 8 , a = ?
n
Answer :-
: . a = a + (n - 1) d
n
=> 7 + (8 - 1) × 3
=> 7 + 7 × 3
=> 7 + 21
=> 28 /
(ii) দিয়া আছে a = - 18 , d = ? , n = 10 , a = 0
n
Answer :-
: . a = a + (n - 1) d
n
=> 0 = - 18 + (10 - 1) × d
=> 18 = 9 × d
2
18
=> = d = 2
9
(iii) দিয়া আছে a = ? , d = - 3 , n = 18, a = - 5
n
Answer -
আমি জানো যে
a = a + (n - 1) d
n
=> - 5 = a + (18 - 1) × (-3)
=> - 5 = a + 17 × ( -3)
=> - 5 = a - 51
=> - 5 + 51 = a
=> a = 46 /
(iv) দিয়া আছেa = - 18.9 , d = 2.5 , n = ? a = 3.6
n
Answer :- আমি জানো যে,
a = a + (n - 1) d
n
=> 3.6 = a + 18.9 + (n -1) × 2.5
=> 3.6 + 18.9 = (n - 1) × 2.5
22.5
=> => (n - 1)
2.5
225 9
=> => n - 1
25
=> 9 + 1 = n
=> n = 10
(v) দিয়া আছে a = 3.5 , d = 0 , n = 105 , a = ?
n
Answer :- আমি জানো যে,
a = a + (n - 1) d
n
=> 3.5 + (105 - 1) × 0
=> 3.5 + 1054 × 0
=> 3.5 + 0
=> 3.5 /
2/ তলৰ প্ৰতিটোৰে শুদ্ধ উত্তৰটো বাছি উলিওৱা আৰু কাৰণ দৰ্শোৱা ----
(i) 10 , 7 , 4 , ...... এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 30 তম পদটো (A) 97 , (B) 77 , (C) - 77 , (D) - 87 ,
Answer :- ইয়াত, a = 10 , d = 7 - 10 = 3
: . a30 = a + 29d
=> 10 + 29 × ( -3) => 10 + 29 × ( - 3)
=> 10 - 87
=> - 77 /
(ii) - 3 , ½ , 2 , ....... এই সমান্তৰ প্ৰগতি টোৰ 11 তম পদটো
(A) 28 , (B) 22 , (C) - 38 , (D) - 48 ½
Answer :- ইয়াত, a = - 3 , d = - ½ - ( - 3)
=> ½ + 3
- 1 + 6 5
=> =
2 2
: . a = a + 10d
¹¹
5 5
=> - 3 + 10 × = - 3 + 25
2
=> 22 /
3/ তলৰ সমান্তৰ প্ৰগতি সমূহৰ খালীঘৰ কেইটাৰ লুপ্ত পদসমূহ (missing terms) নিৰ্ণয় কৰা :--
(i) 2 , ___ , 26
Answer :- ইয়াত, a = 2
a3 = 26
=> a + 2d = 26
=> 2 + 2d = 26
=> 2d = 26 - 2
24
=> d = 12
2
: . a2 = a + d = 2 + 12 + =14
: . 2 , 14 , 26 /
(ii) ___ , 13 , ____
Answer :- দিয়া আছে a2 = 13
=> a + d = 13 -----> (i)
আৰু a4 = 3
=> a + 3d = ----> (ii)
(ii) - (i) a + 3d - (a + d) = 3 - 13
=> a + 3d - a - d = - 10
=> 2d = - 10
- 10
=> d = 5
2
: . d ৰ মানটো সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a + ( + 5) = 13
=> a - 5 = 13
=> a = 13 + 5 = 18
: . a3 + 2d = 18 + 2 × ( - 5)
=> 18 - 10 = 8
: . 18 , 13 , 8 , 3 , /
(iii) 5 , ____ , ____ , 9 ½
Answer :- দিয়া আছে a = 5
আৰু a4 = 9 ½
19
=> a + 3d =
2
19
=> 3d = - 5
2
19 - 10 9
=> 3d = =
2 2
3
9 3
=> d = =
3 × 2 2
3 10 + 3 13
: . a2 = a + d = 5+ × = => 6 ½
2 2 2
3
a3 = a + 2d = 5 + 2 × = 5 + 3 = 8
2
(iv) - 4 , ___ , ____ , ____ , ____ , 6
Answer :- দিয়া আছে a = - 4
a6 = 6
=> a + 5d = 6
=> - 4 + 5d = 6
=> 5d = 6 + 4 = 10
2
10
=> d = = 2
5
: . a3 + a + d = - 4 + 2 = - 2
a4 = a + 3d = - 4 + 3 × 2 = - 4 + 6 = 2
a5 = a + 4d = - 4 + 4 × 2 = - 4 + 8 = 4
: . - 4 , - 2 , 0 , 2 , 4 , 6 /
(v) ___, 38 , ___ , ___ , ___ , - 22
Answer :- ইয়াত a2 = 38
=> a + d = 38 -----> (i)
আৰু a6 = - 22
=> a + 5d = - 22 -----(ii)
(ii) - (i)
a + 5d - ( a + d) = - 22 - 38
=> a + 5d - a - d = 60
=> 4d = - 60
- 60
=> d = - 15
4
: . d ৰ মান টো সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
=> a + ( - 15) = 38
=> a - 15 = 38
=> a = 38 + 15 = 53
: . a3 = a + 2d = 53 + 2 × ( - 15) = 53 - 30 = 23
a4 = a + 3d = 53 + ( - 15) = 53 - 45 = 8
a5 = a + 4d = 53 + 4 × ( - 15) = 53 - 60 = - 7
: . 53 , 38 , 23 , 8 , - 7 , - 22 /
4/ 3 , 8 , 13 , 18 , -------- সমান্তৰ প্ৰগতিৰ কোনটো পদ 78 ?
Answer :- ইয়াত a = 3
d = 8 - 3 = 5
a = 78
n
=> a + (n - d) = 78
=> 3 + (n - 1) 5 = 78
=> (n - 1) × 5 = - 78 - 3
75 15
=> n - 1 =
5
=> n = 15 + 1 =16
=> n = 16
: . 61 তম পদটো হ'ব 78 /
5/ তলৰ প্ৰতিটো সমান্তৰ প্ৰগতিৰ পদৰ সংখ্যা নিৰ্ণয় কৰা ।
(i) 7 , 13 , 19 , ------ , 205
Answer :- ইয়াত a = 7
d = 13 - 7 = 6
a = 205
n
=> a + (n - 1) d = 205
=> 7 + (n - 1)6 = 205
=> (n - 1)6 × 205 - 7
33
198
=> (n - 1) =
6
=> n = 33 + 1
=> n = 34
: . উক্ত সমান্তৰ প্ৰগতিৰ পদৰ সংখ্যা টো হ'ল 34 /
(ii) 18 , 15 , ½ , 13 , ------ - 47
Answer :- ইয়াত a = 18 ,
31 31 - 36 - 5
d + 15½ - 18 - 18 = =
2 2 2
a = - 47
n
=> a + (n - 1)d = - 47
- 5
=> 18 + (n - 1) ( )= - 47
2
- 5
=> (n - 1) ( )= - 47 - 18
2
13
65 × 2
=> n - 1 =
- 5
=> n = 26 + 1
=> n = 27
: . উক্ত সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ পদৰ সংখ্যা টো হ'ল 27 /
6/ 11, 8 , 5 , 2 ------- এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ - 150 সংখ্যা টো কোনো এটা পদ হ'ব পাৰে নে পৰীক্ষা কৰা ?
Answer :- ইয়াত
a = 11
a = 8 - 11 = - 3
a = - 150
n
=> a + (n - 1)d = - 150
=> 11 + (n - 1) ( - 3) = - 150
=> (n - 1) ( -3) = - 150 - 11
- 161
=> n - 1=
- 3
161 + 3
=> n = + 1
3
164 + 3
=> n =
3
164
=> n =
3
যিহেতু, n টো পূর্ণ সংখ্যা নহয় ।
গতিকে - 150 টো উক্ত সমান্তৰাল টোৰ এটা পদ হব নোৱাৰে ।
7/ এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 11 তম পদটো 38 আৰু 16 তম পদটো 73 হ'লে তাৰ 31 তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- দিয়া আছে
a = 38
n
=> a + 10d = 38 ------> (i)
a16 = 73
=> a+ 15d = 73 ----> (ii)
(ii) - (i)
=> a + 15d - (a + 10d) = 73 - 38
=> a + 15d - a - 10d - 35
=> 5d = 35
35 7
=> d = = 7
6
: . d ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই পাওঁ
a + 10 × 7 = 38
=> a + 70 = 38
=> a = 38 - 70
=> a = - 32
: . a31 = a + 30d
=> - 32 + 30 × 7
=> - 32 + 210
=> 178
: . উক্ত সমান্তৰ প্ৰগতি টোৰ 31 তম পদটো হ'ল 178 /
8/ এটা সমান্তৰ প্ৰগতিত 50 টা পদ আছে যাৰ তৃতীয় পদটো 12 আৰু শেষ পদটো 106 । 20 তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- দিয়া আছে a3 = 12
=> a + 2d = 12 -----> (i)
a50 = 106
=> a+ 49d =106 ----------> (ii)
(ii) + (i)
=> a + 49d - (a + 2d) = 106 - 12
=> a + 49d - a - 2d = 95
=> 47d = 94
94 2
=> d = = 2
47
: . d ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a + 2 × 2 = 12
=> 4 + 4 = 12
=> a = 12 - 4
=> a = 8
: . a29 = a + 28d
=> 8 + 28 × 2
=> 8 + 56
=> 64
: . উক্ত সমান্তৰ প্ৰগতি টো হ'ল 64 /
9/ যদি এটা সমান্তৰ প্ৰগতি টোৰ তৃতীয় আৰু নৱম পদ দুটা ক্ৰমে 4 আৰু 8 হয় তেন্তে ইয়াৰ কোনটো পদ শূন্য হ'ব ?
Answer :- ইয়াত a3 = 4
=> a + 2d = 4 ---------(i)
a9 = - 8
=> a + 8d = - 8 --------> (ii)
(ii) - (i)
=> a + 8d - (a + 2d) = - 8 - 4
=> a + 8d - a - 2d = - 12
=> 6d = - 12
- 12 2
=> d = = - 2
6
: . d ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a + 2 × ( - 2) = 4
=> a - 4 = 4
=> a = 4 + 4
=> a = 8
এতিয়া
a = 0
n
=> a + (n - 1)d = 0
=> 8 + (n - 1) ( - 2) = 0
=> (n - 1) ( - 2) = - 8
- 8 4
=> n - 1 =
- 2
=> n = 4 + 1
=> n = 5
গতিকে, সমান্তৰ প্ৰগতি টোৰ 5 তম পদটো হ'ল = 0 /
10/ এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ 17 তম পদটোতকৈ 7 ডাঙৰ । সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- ধৰাহল সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম পদ = a
আৰু সাধাৰণ অন্তৰ = d
প্ৰশ্ন মতে a17 = a10 + 7
=> a + 16d = a + 9d + 7
=> 16d - 9d = 7
=> 7d = 7
7 1
=> d =
7
=> d = 1
গতিকে, সমান্তৰ প্ৰগতি টোৰ সাধাৰণ অন্তৰ হ'ল 1 /
11/ 3, 15, 27, 39, ........... সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কোনটো পদ 54 তম পদতকৈ 132 ডাঙৰ ?
Answer :- ইয়াত a = 3
d = 15 - 3 = 12
প্ৰশ্ন মতে
a = a54 + 132
n
=> a + (n - 1)d = a + 53d + 132
=> (n - 1) 12 = 53 × 12 + 132
=> (n - 1) 12 = 636 + 132
768 64
=> d =
12
=> n = 64 + 1
=> n = 65
: . নিৰ্ণয় পদটো হ'ল 65 তম /
12/ দুটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ সাধাৰণ অন্তৰ একে । সিহঁতৰ 100 তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য 100 । সিহঁতৰ 1000 তম পদ দুটাৰ পাৰ্থক্য কিমান ?
Answer :- ধৰাহল সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম পদ = a আৰু b আৰু সাধাৰণ অন্তৰ = d
প্ৰথম সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 100 তম পদ = a100
আকৌ, দ্বিতীয় সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 100 তম পদ = b 100
প্ৰশ্ন মতে, a100 - b = 100
=> a + 99d - (b + 99d) = 100
=> a + 89d - b - 99d = 100
=> a - b = 100 -------> (i)
এতিয়া a1000 - b999d
=> a+ 999d - b - 999d
=> a - b
=> 100
গতিকে, 1000 তম পদটোৰ পাৰ্থক্য = 100 /
13/ কিমানটা তিনি অংক যুক্ত সংখ্যা 7 ৰে বিভাজ্য ?
Answer :- ইয়াত সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ'ল
105, 112, 119, ........ 994
ইয়াত a = 105
d = 112 - 105 = 7
a = 994
n
=> a + (n - 1)d = 994
=> 105 + (n - 1)7 = 994
=> (n - 1)7 = 994 - 105
889 127
=> n - 1 =
6
=> n = 127 + 1
=> n = 128
: . 7 ৰে বিভাজ্য তিনি অংক যুক্ত সংখ্যা হ'ল 128 /
14/ 10 আৰু 250 ৰ মাজত 4 ৰ গুণিতক কিমানটা আছে ?
Answer :- ইয়াত সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ'ল
12 , 16 , 20 ...... 248
ইয়াত a = 12
d = 16 - 12 = 4
a = 248
n
=> a + 248
=> a + (n - 1) = 248
=> 12 + (n - 1)4 = 248
=> (n - 1) 4 = 248 - 12
236 59
=> n - 1 =
4
=> n = 59 + 1 = 60
: . 10 আৰু 250 ৰ মাজত 4 ৰ গুণিতক 60 টা আছে /
15/ nৰ কি মানৰ বাবে 65, 67, ........ আৰু 3, 10, 17, ...... এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ n তম পদ দুটা সমান ?
Answer :- প্ৰথম সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ 63, 65, 67, .....
ইয়াত, a = 63
d = 65 - 63 = 2
a = a + (n - 1)d
n
=> 63 + (n - 1) 2
=> 63 + 2n - 2
=> 61 + 2n -------->
আৰু দ্বিতীয় সমান্তৰ প্ৰগতিটো 3, 10, 17, .........
ইয়াত a = 3
d = 10 - 3 = 7
a = a + (n -1)d
n
=> 3 + (n - 1)7
=> 3 + 7n - 7
=> 7n - 4 --------> (ii)
প্ৰশ্ন মতে 7n - 4 = 61 + 2n
=> 7n - 2n = 61 + 4
=> 5n = 65
65 13
=> n =
5
গতিকে; 13 তম পদটো সমান ।
16/ এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ তৃতীয় পদটো 16 আৰু সপ্তম পদটো পঞ্চম পদটোতকৈ 12 ডাঙৰ । সমান্তৰ প্ৰগতিটো নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- ইয়াত, a3 = 16
=> a + 2d = 16 --------> (i)
আকৌ a7 = a5 + 12
=> a + 6d = a + 4d + 12
=> 6d - 4d = 12
=> 2d = 12
12 6
=> n =
2
=> d = 6
: . d ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a + 2 × 6 = 16
=> a + 12 = 16
=> a = 16 - 12
=> a = 4
: . a2 = a + d = 4 + 6 = 10
a3 = a + 2d = 4 + 2 × 6 = 4 + 12 = 16
a4 = a + 3d = 4 + 3 × 6 = 4 + 18 = 22
: . সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ'ল
4, 10, 16, 12 ....... /
17/ 3, 8, 13, ..... , 253 এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ শেষৰ ফালৰপৰা 20 তম পদটো নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- শেষৰ ফালৰ পৰা সমান্তৰ প্ৰগতিটো হ'ল ----
253, 248, 243, ...... 13, 8, 3
ইয়াত a = 253
d = 248 - 253 = - 5
: . a20 = a + 19d
=> 253 + 19 × ( - 5)
=> 253 - 95
=> 158
: . সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ শেষৰ ফালৰ পৰা 20 তম পদটো হ'ল - 158 /
18/ এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ চতুৰ্থ আৰু অষ্টম পদ দুটাৰ যোগফল আৰু ষষ্ঠ আৰু দশম পদ দুটাৰ যোগফল 44 । সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম তিনিটা পদ নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- প্ৰশ্ন মতে, a4 + a8 = 24
=> a + 3d + a + 7d = 24
=> 2a + 10d = 24
=> 2 (a + 5d) = 2 × 12
=> a + 5d = 12 -------> (i)
আকৌ a6 + a10 = 44
=> 2a + 14d = 44
=> 2 (a + 7d) = 2 × 22
=> a + 7d = 22 ------> (ii)
(ii) - (i)
=> a + 7d - (a + 5d) = 22 - 12
=> a + 7d - a - 5d = 10
=> 2d = 10
10 5
=> d = = 5
2
: . d ৰ মান সমীকৰণ (ii) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a + 7 × 5 = 22
=> a + 35 = 22
=> a = 22 - 35
=> a = - 13
: . a2 = a + d = - 13 - 5 = - 8
a3 = a + 2d = - 13 + 2 × 5 = - 13 + 10 = - 3
: . সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ প্ৰথম তিনিটা পদ হ'ল --- 13, - 8, - 3, /
19/ 1995 চনত চন্দনাই 5000 টকা বছৰেকীয়া দৰমহাত চাকৰি আৰম্ভ কৰিলে আৰু প্ৰতি বছৰে 200 টকাকৈ বৃদ্ধি (increment) লাভ কৰিলে । কোন বছৰত তেওঁৰ দৰমহা 7000 টকা হ'ব ?
Answer :- ইয়াত a = 500
d = 200
a = 7000
n
=> a + (n - 1)d
=> 500 + (n - 1) × 200 = 7000
=> (n - 1) 200 = 7000 - 5000
2000 10
=> n - 1 =
200
=> n = 10 + 1
=> n = 10
: . 9995 + 11 = 2006 চনত চন্দনাৰ দৰমহা 7000 টকা হ'ব /
20/ ৰামচৰণে কোনো এটা বছৰৰ সপ্তাহত 5 টকা সঞ্চয় কৰিলে আৰু প্ৰতি সপ্তাহত সঞ্চয়ৰ ধন 1.75 টকাকৈ বঢ়াই গৈ থাকিল । n তম সপ্তাহত তেওঁৰ সাপ্তাহিক সঞ্চয়ৰ পৰিমাণ 20.75 টকা হ'লে n ৰ মান নিৰ্ণয় কৰা।
Answer :- ইয়াত a = 5
d = 1.75
a = 20.75
n
=> a + (n - 1)d = 20.75
=> 5 + (n - 1) 1.75 = 20.75
=> (n - 1) 1.75 = 20.75 - 5
=> 1.75n - 1.75 - 5
=> 1.75n - 1.75 + 1.75
17.50
=> n =
1.75
1750 10
=> n =
1.75
=> n = 10
: . নিৰ্ণেয় n ৰ মান হ'ল 10 /
অনুশীলনী 5.3
* n টা পদৰ যোগফল :-
n
S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
Or
n
S = (n + l)
n 2
1/ তলৰ সমান্তৰাল প্ৰগতি সমূহৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা :
(i) 2, 7, 12, ............ (10 টা পদলৈ)
Answer :- ইয়াত a = 2
d = 7 - 2 = 5
n = 10
n
S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
10 5
S = [ 2 × 2 + (10 - 1)5
10 2
=> 5(4 + 9 × 5)
=> 5 × 49
=> 245 /
(ii) - 37, - 33, - 29, ............. (12 টা পদলৈ)
Answer :- ইয়াত a = - 37
d = - 33 - (37) = - 33 + 37 = 4
n = 12
n
S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
12 6
S = [ 2 × ( - 37) + (n - 1)4
12 2
=> 6( - 74 + 11 × 4)
=> 6( - 74 + 44)
=> 6( - 30)
=> 180 /
(iii) 0.6 , 1.7, 2.8 ...... (100 টা পদলৈ )
Answer :- ইয়াত a = 0.6
d = 1.7 - 0.6 = 1.1
n = 10
n
S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
100 50
S = [ 2 × 0.6 + (100 - 1)1.1
100 2
=> 50(1.2 + 99 × 1.1)
=> 50(1.2 + 108.9)
=> 50 × 110.1
=> 5505 /
1 1 1
(iv) , , ( 11 টা পদলৈ)
15 12 10
1
Answer :- ইয়াত a =
15
1 1 5 - 4 1
d = - = =
12 15 60 60
n = 11
n
S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
11 2 1
=> [ + ]
2 15 6
11 4 + 5
=> ( )
2 30
11 9 3
=> ×
2 30 10
33
=> /
20
2/ তলৰ যোগফল বিলাক নিৰ্ণয় কৰা :-
(i) 7 + 0 ½ + 14 + ........ + 84
Answer :- ইয়াত a = 7
21 21 - 14 7
d = 10½ - 7 = = - 7 = =
2 2 2
l = a = 84
n
=> a + (n - 1)d = 84
7
=> 7 + (n - 1) = 84
2
7
=> (n - 1) = 84 - 7
2
11 77 × 2
=> n - 1 =
7
=> n = 22 + 1
=> n = 23
n
S = (n + l)
n 2
23
=> S = ( 7 + 84 )
23 2
23
=> × 91
2
2093
=>
2
=> 1046.5 /
(ii) 34 + 32 + 30 + ............. + 10
Answer :- d = 32 - 34 = - 2
l = a = 10
n
=> a + (n - 1)d = 10
=> 34 + (n - 1( ( - 2) = 10
=> (n - 1) ( - 2) = 10 = 10 - 34 - 24
- 24 12
=> n - 1 = - 2
=> n = 12 + 1
=> n = 13
n
S = (n + l)
n 2
13
S = (34 + 10)
13 2
13 22
=> × 44
2
=> 286 /
(iii) - 5 + ( - 8) + ( - 11) + ...... + ( - 230)
Answer :- ইয়াত, a = - 5
d = - 8 - (-5) = - 8 + 5 = - 3
l বা a = - 230
n
a + (n - 1)d = - 230
=> - 5 + (n - 1) ( - 3) = - 230
=> (n - 1) ( - 3) = - 230 + 5
- 225 75
=> n - 1 = - 3
=> n = 75 + 1
=> 76
=> n = 76
n
S = (n + l)
n 2
76
S = { - 5 ( - 230 ) }
76 2
=> 38(235)
=> - 8930 /
3/ এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ
(i) দিয়া আছে a = 5, d = 3, a = 50 , আৰু S উলিওৱা
n n
Answer :- দিয়া আছে a = 5
d = 3
a = 50
n
=> a + (n - 1)d = 50
=> 5 + (n : 1) 3 = 50
=> (n - 1) = 50 - 5
45 15
=> (n - 1) =
3 1
=> n = 15 + 1
=> n = 16
n
: . S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
16 8
=> S = [ 2 × 5 + (16 - 1)3
16 2
=> 8 × 10 + 45
=> 440
S = 440 /
n
(ii) দিয়া আছে a = 7, a13, = 35, d আৰু S13 উলিওৱা
Answer :- দিয়া আছে a = 7
a13 = 7
a13 = 35
=> a + 12d = 35
=> 7 + 12d = 35
=> 12d = 35 - 7
28 7
=> d =
12 3
7
=> d =
3
n
: . S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
13 7
=> S = [ 2 × 7 + 12 × ]
13 2 3
13
=> ( 14 + 28 )
2
13 21
=> × 42
2
=> 273 /
(iii) দিয়া আছে
a = 15 , S = 125 , d আৰু a উলিওৱা ।
3 10 10
Answer :-দিয়া আছে d = 3
a = 37
12
=> a + 11d = 37
=> a + 11 × 3 = 37
=> a + 33 = 37
=> a = 37 - 33
=> a = 4
n
: . S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
12
=> a = [2 × 4 + 11 × 3]
2
=> 6(8 + 33)
=> 6 × 41
=> 246 /
(iv) দিয়া আছে
a = 15 , S = 125 , d আৰু a = উলিওৱা ।
3 10 10
Answer :- দিয়া আছে
a = 15
3
=> a + 2d = 15
=> s = 15 - 2d -------> (i)
আকৌ, S = 125
10
n
: . S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
5
10
=> [ 2a + 9d ] = 125
2
=> 5[2(15 - 2d) + 9d = 125
25
125
=> 2(15 - 2d) + 9d =
5
=> 5d = 25 - 30
- 5 1
=> d =
5
=> d = - 1
: . d ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a = 15 - 2 ( - 1)
=> 15 + 2
=> 17
: . a = a + 9d
10
=> 17 + a( - 1)
=> 17 - 9
=> 8 /
(v) দিয়া আছে d = 5
S = 75 a আৰু a উলিওৱা
9 9
Answer :- দিয়া আছে d = 5
S = 75
9
n
: . S = [ 2a + (n - 1)d
n 2
9
=> [ 2a + 8 × 5)] = 75
2
=> 9(2a + 40) = 75 × 2
=> 18a + 360 = 150
53
210 - 35
=> a =
18 3
6
- 35
: . a = a + 8d = + 8 × 5
9 3
- 35
=> + 40
3
- 35 + 120
=>
3
=> 6(8 + 33)
=> 6 × 41
=> 246 /
85
=> /
3
(vi) দিয়া আছে a = 2, d = 8 , S = 90, n আৰু a উলিওৱা
n n
Answer :- দিয়া আছে a = 2
d = 8
S = 90
n
n
=> [ 2a + (n - 1)d ] = 90
2
n
=> [ 2 × 2 + (n - 1) 8 = 90
2
=> n(4 + 8n - 8) = 90 × 2
=> n(8n - 4) = 180
=> 8n² - 4n - 180 = 0
=> 4(2n² - n - 45) = 0
=> 2n² - (10 - a)n - 45 = 0
=> 2n² - n - 45 = 0
=> 2n² - (10 - a) n - 45 = 0
=> 2n² - 10n + 9n - 45 = 0
=> 2n(n - 5) + 9(n - 5) = 0
=> (n - 5) (2n + 9) = 0
: . n - 5 = 0 or 2n + 9 = 0
=> n = 5 => 2n = - 9
- 9
=> (অসম্ভৱ)
2
: . a = a + (n - 1)d
n
=> 2 + 4 × 8
=> 34 /
(vii) দিয়া আছে a = 8 , a = 62, S = 210, n
n n
আৰু d উলিওৱা ।
Answer :- দিয়া আছে a = 8
l বা a = 62
n
S = 210
n
n
=> (a + l) = 210
2
n
=> (8 + 62) = 210
2
=> n(70) = 210 × 2
3
210 × 2
=> n =
70
আকৌ a = 62
n
=> a + (n - 1)d = 62
=> 8 + 5d = 62
=> 5d = 62 - 62
54
=> d = /
5
(viii) a = 4 , d = 2 , S = - 14, n আৰু a উলিওৱা ।
n n
Answer :- দিয়া আছে d = 2 , S = - 14
n
l বা a = 4
n
=> a + (n - 1) = 4
=> a + (n - 1)2 = 4
=> a + 2n - 2 = 4
=> a + 2n = 4 + 2
=> a = 6 - 2n --------> (i)
আকৌ, S = - 14
n
n
=> (a + l) = 14
2
n
=> (6 - 2n + 4) = - 14
2
=> n(10 - 2n) = - 28
=> 10n - 2n² = - 28
=> - 2n² + 10n + 28 = 0
=> - 2(n² - 5n - 14) = 0
=> n² - 5n - 14 = 0
=> n² - ( - 7)n - 14 = 0
=> n² - 7n + 2n - 14 = 0
=> n(n - 7) 2(n - 7) = 0
=> (n - 7) (n + 2) = 0
: . n - 7 = 0 Or n + 2 = 0
=> n = 7 => n = - 2 (অসম্ভৱ)
: . n ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a = 6 - 2 × 7 = 6 - 14
=> - 8 /
(ix) দিয়া আছে a = 3, n = 8, s = 192 , d উলিওৱা ।
Answer :- দিয়া আছে a = 3 , n = 8 , s = 192
n
=> (2a + (n - 1) = 192
2
8 4
=> [2 × (8 - 1)d] = 192
2
=> 4[6 + 7d] = 192
192 48
=> 6 + 7d =
4
=> 7d = 48 - 6
42 6
=> d =
7
=> d = 6 /
(x) দিয়া আছে l = 28, s = 144, আৰু মুঠ পদৰ সংখ্যা 9, a উলিওৱা ।
Answer :- দিয়া আছে n = 9 , l = 144
n
=> (a + l) = 144
2
9
=> (a + 28) = 144
2
=> 9(a + 28) = 144 × 2
16
144 × 2
=> a + 28 =
1 9
=> a = 32 - 28
=> a = 4 /
4/ 9, 17, 25, .............. , এই সমান্তৰ প্ৰগতিটোৰ কিমানটা পদৰ যোগফল 636 হ'ব ?
Answer :- ইয়াত a = 9 ,
d = 17 - 9 = 8
S = 636
n
n
=> [ 2a + (n - 1)d ] = 636
2
n
=> [ 2 × 9 + (n - 1)8 ] = 636
2
=> n(218 + 8 - 8) = 636 × 2
=> n(10 + 8n) = 636 × 2
=> 8n² + 10n = 636 × 2
=> 2 (4n² + 5n) = 636 × 2
=> 4n² + 5n - 636 = 0
=> 4n² + (53 - 48)n - 636 = 0
=> 4n² + 53n - 48n - 636 = 0
=> n(4n + 53) - 12(4n + 53) = 0
= (4n + 53) (n - 12) = 0
: . 4n + 53 = 0 Or n - 12 = 0
=> 4n = 53 => n = 12
- 53
=> n = ( অসম্ভৱ)
4
: . 12 টা পদৰ যোগফল 636 /
5/ এটা সমান্তৰ প্ৰগতিৰ প্রথম পদ, 5 অন্তিম পদ 45 আৰু যোগফল 400 । মুঠ পদৰ সংখ্যা আৰু সাধাৰণ অন্তৰ নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- দিয়া আছে a = 5 , l = 45
S = 400
n
n
=> (a + l) = 400
2
9
=> (5 + 45) = 400
2
=> n × 50 = 400 × 2
8
400 × 2
=> n = = n = 16
50
আকৌ সাধাৰণ অন্তৰ
a = 45
n
=> a +(n - 1)d = 45
=> 5 + 15 × d = 45
=> 15 × d = 45 - 5
8
40
=> d =
15 5
=> মুঠ পদৰ সংখ্যা 16 আৰু সাধাৰণ অন্তৰ
8
=> /
3
6/ এটা AP ৰ প্ৰথম পদ আৰু অন্তিম পদ ক্ৰমে 17 আৰু 350 । যদি ইয়াৰ সাধাৰণ অন্তৰ 9 তেন্তে AP টোৰ কিমান পদ আৰু সিহঁতৰ যোগফল কিমান ?
Answer : দিয়া আছে a = 17
l বা a = 350
n
: . a = 350
n
=> a + (n - 1)d = 350
=> 17 + (n - 1) 9 = 350
=> (n - 1) 9 = 350 - 7
333 37 => n - 1 =
9
=> n = 37 + 1
=> n = 38
n
: . S = (a + l)
n 2
38
=> S = (17 + 350)
38 2
=> 19 × 367
=> 6973 /
7/ এটা AP ৰ d = 7 আৰু 22 তম পদটো 149 হলে ইয়াৰ প্ৰথম 22 টা পদৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- দিয়া আছে d = 7
a = 149
22
=> a + 21d = 149
=> a + 21 × 7 = 149
=> a + 147 = 149
=> a = 149 - 147
=> a = 2
n
: . S = [ 2a + (n - 1)d ]
n 2
22
S = [ 2 × 2 + 21 × 7]
22 2
=> 11( + 147)
=> 11 × 151
=> 1661 /
8/ এটা AP ৰ দ্বিতীয় আৰু তৃতীয় পদ ক্ৰমে 14 আৰু 18 হলে প্ৰথম 51 টা পদৰ যোগফল উলিওৱা ।
Answer :- দিয়া আছে,
a = 14
2
=> a + d = 14 ------(i)
a = 18
n
=> a + 2d = 18 ------> (ii)
(ii) - (i)
a + 2d - (a + d) = 18 - 14
=> a + 2d - a - d = 4
=> d = 4
: . d ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই পাওঁ ----
a + 4 = 14
=> a = 14 - 4
=> a = 10
n
: . S = [ 2a + (n - 1)d ]
n 2
n
=> S = [ 2 × 10 + 50 × 4 ]
51 2
51
=> (20 + 200)
2
51 110
=> × 220
2
=> 5610 /
9/ এটা AP ৰ প্ৰথম 7 টা পদৰ যোগফল 49 আৰু প্ৰথম 17 টা পদৰ যোগফল289 , AP টোৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল উলিওৱা ।
Answer :- দিয়া আছে
S = 49
n
7
=> [ 2a + 6d ] = 49
2
7
49 × 2
=> 2a + 6d =
7
=> 2(a + 3d) = 7 × 2
=> a + 3d = 7 -------> (i)
আৰু
S = 289
17
17
=> [ 2a + 16d ] = 289
2
17
289 × 2
=> 2a + 16d =
17
=> 2 (a + 8d) = 17 × 2
=> a + 8d = 18 -------> (ii)
(ii) - (i)
=> a + 8d - (a + 3d) = 17 - 7
=> a + 8d - a - 3d = 10
=> 5d = 10
2
10
=> d = = 2
5
: . d ৰ মান সমীকৰণ (i) ত বহুৱাই আমি পাওঁ-
a + 3 × 2 = 7
=> a + 6 = 7
=> a = 7 - 6
=> a = 1
n
: . S = [ 2a + (n - 1)d ]
n 2
n
=> [ 2 × 1 + (n - 1)2]
2
n
=> [ 2 + 2n - 2 ]
2
n
=> × 2n = n² /
2
10/ দেখুৱা যে
a a a ............... a ........
1, 2, 3, n
পদ সমূহে এটা AP গঠন কৰে যাৰ a ক তলত দিয়াৰ দৰে সংজ্ঞাবদ্ধ কৰা হৈছে
n
(i) a = 3 + 4n (i) a = 9 - 5n
n n
লগতে, প্ৰতিটোৰ ক্ষেত্রত প্ৰথম 15 টা পদৰ যোগফল উলিওৱা ।
Answer :- (i) দিয়া আছে
a = 3 + 4n
n
: . n = 1, 2, 3, 4, ........
a1 = 3 + 4 × 1 = 3 + 4 = 7
a2 = 4 + 4 × 2 = 3 + 8 = 11
a3 = 3 + 4 × 3 = 3 + 12 = 15
a4 = 3 + 4 × 4 = 3 + 16 = 19
এতিয়া a2 = a1 = 11 - 7 = 4
a3 - a2 = 15 - 11 = 4
a4 - a3 = 19 - 15 = 4
যিহেতু সাধাৰণ অন্তৰ একে ।
গতিকে a1, a2, a3, ....... a AP গঠন কৰে ।
n
আকৌ a = 7
d = 4
n = 15
25
S = [2 × 7 + 14 × 4]
15 2
15
=> [14 + 56]
2
15 35
=> × 70
2
=> 525 /
(ii) দিয়া আছে a = 9 - 5n
n
Answer --
: . n = 1, 2, 3, ........
a1 = 9 - 5 × 1 = 9 - 5 = 4
a2 = 9 - 5 × 2 = 9 - 11 = - 1
a3 = 9 - 5 × 3 = 9 - 15 = - 6
a4 = a - 5 × 4 = 9 - 20 = - 11
এতিয়া
a2 - a = - 1 - 4 = - 5
a3 - a2 = - 6 - (-1) = - 6 + 1 = - 5
a4 - a3 = - 11 (- 6) = - 11 + 6 = - 5
যিহেতু সাধাৰণ অন্তৰ একে । গতিকে a1, a2, a3, ........ AP গঠন কৰে ।
আকৌ a = 4
d = - 5
n = 15
15
S = [2 × 4 + 14 × (-5)]
15 2
15
=> [8 + 70]
2
15 31
=> × ( 62 )
2
=> - 465 /
11/ যদি এটা AP ৰ প্ৰথম n টা পদৰ যোগফল 4n - n² , তেন্তে ইয়াৰ প্রথম পদ (S1) কি ? প্ৰথম পদ দুটাৰ যোগফল কিমান? দ্বিতীয় পদটো কি? একেদৰে, তৃতীয়, দশম আৰু n তম পদকেইটা নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :-
S = 4n - n²
n
: . n = 1, 2, 3, 4, .....
S1 = 4 × 1 - 1² = 4 - 1 = 3
S2 = 4 × 2 - 2² = 8 - 4 = 4
S3 = 4 × 3 - 3² = 12 - 9 = 3
: . প্ৰথম পদ (S1) = 3
প্ৰথম পদ দুটাৰ যোগফল (S2) = 4
দ্বিতীয় পদ (a2) = S2 - S1 = - 3 = 1
এতিয়া a = 3
d = a2 - a1 = 1 - 3 = - 2
: . a3 = a + 2d = 3 + 2( -2) = 3 - 4 = 1 /
a10 = a + 9d = 3 + 9 (-2) = 3 - 18 = - 15 /
a = a + (n - 1)d = 3 + (n - 1) (-2)
n
=> 3 - 2n + 2
=> 5 - 2n /
12/ 6 ৰে বিভাজ্য প্রথম 40 টা ধনাত্মক অখণ্ড সংখ্যাৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- 6 ৰে বিভাজ্য প্রথম 40 টা সংখ্যাৰ AP টো হ'ল :-
6, 12, 18, 24, ..............
ইয়াত a = 6
d = 12 - 6
n = 40
40
: . S = [2 × 6 + 39 × 6]
40 2
=> 20(12 + 234)
=> 20 × 246
=> 4920 /
13/ প্ৰথম 15 টা 8 ৰ গুণিতকৰ যোগফল কৰা ।
Answer :- প্ৰথম 15 টা 8 ৰ গুণিতকৰ AP টো হ'ল --
8, 16, 24, 32 ..........
ইয়াত a = 8
d = 16 = 8
n = 15
15
: . S = [2 × 8 + 14 × 8]
15 2
15
=> (16 + 12)
2
15 64
=> × 128
2
=> 960 /
14/ 0, আৰু 50 ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যা বিলাকৰ যোগফল নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- 0 আৰু 50 ৰ মাজৰ অযুগ্ম সংখ্যা বোৰৰ AP টো হ'ল --
1, 3, 5, 7, 40
ইয়াত a = 1
l বা a = 49
n
=> a + (n - 1) = 49
=> 1 + (n - 1)2 = 49
=> (n - 1)2 = 49 - 1
48 24
=> n - 1 =
2
=> n = 24 + 1
=> n = 25
25
=> S = [1 + 49)
25 2
25 25
=> × 50
2
=> 625 /
15/ এটা নিৰ্মাণ কাৰ্যৰ ঠিকাত নিৰ্মাণৰ কাম এটা নিৰ্ধাৰিত তাৰিখতকৈ পলম হ'লে দিব লগা জৰিমনা এনেধৰণৰ : প্ৰথম দিনা 200 টকা, দ্বিতীয় দিনা 250 টকা, তৃতীয় দিনা 300 টকা ইত্যাদি। অৰ্থাৎ প্ৰতিটো পৰবৰ্তী দিনৰ জৰিমনা তাৰ পূৰ্বৱৰ্তী দিনতকৈ 50 টকা বেছি । ঠিকাদাৰ এজনে কামটো 30 দিন পলমকৈ সম্পূৰ্ণ কৰিলে । তেওঁৰ মুঠ কিমান টকা জৰিমনা ভৰিব লাগিব ।
Answer :- তেওঁ ভৰিব লগা জৰিমনা AP টো হৈছে :-
200, 250, 300, 350 ..........
জৰিমনা দিবলগা মুঠ দিন = 30
ইয়াত a = 200
d = 250 - 200 = 50
n = 30
30
: . S = [2 × 200 + 29 × 50]
30 2
=> 15(400 + 1450)
=> 15 × 1850
=> 27750
: . মু জৰিমনা = 27,750 টকা /
16/ এখন বিদ্যালয়ৰ শিক্ষাৰ্থীসকলক বিদ্যায়তনিক ক্ষেত্রত দেখুওৱা পাৰদৰ্শিতাৰ বাবে মুঠ 700 টকাৰ সাতটা নগদ ধনৰ পুৰস্কাৰ দিব লগা হ'ল । যদি প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ ধন তাৰ আগৰটোতকৈ 20 টকা কম হয়, তেনেহ'লে প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ মূল্য নিৰ্ণয় কৰা ।
Answer :- দিয়া আছে মুঠ ধন = 700 টকা
মুঠ পুৰস্কাৰৰ ধন তাৰ আগতৰটোতকৈ 20 টকা কম ।
ধৰা হ'ল প্রথম পদটো = a
ইয়াত ; S = 700
n
n = 7
d = - 20
: . S = 700
n
n
=> [2a + (n - 1)d] = 700
2
7
=> [2a + 6 × ( - 20) ] = 700
2
1
700 × 2
=> 2a - 120 =
7
=> 2a = 200 + 120
320 160
=> a =
2
=> a = 160 - 20 = 140
2
a = 140 - 20 = 120
3
a = 120 - 20 = 100
4
a = 100 - 20 = 80
5
a = 80 - 20 = 60
6
a = 60 - 20 = 40
7
: . প্ৰতিটো পুৰস্কাৰৰ মূল্য হৈছে 160, 140, 120, 100 80, 60, 40, /
17/ এখন বিদ্যালয়ৰ ছাত্র-ছাত্ৰীসকলে বায়ু প্ৰদূষণ ৰোগৰ উদ্দেশ্য বিদ্যালয়ৰ চৌপাশে বৃক্ষৰোপণ কৰিবলৈ মনস্থ কৰিলে । এইটো সিদ্ধান্ত লোৱা হ'ল যে প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ প্ৰতিটো শাখাৰপৰা তেওঁলোক পঢ়া শ্ৰেণীটোৰ সমসংখ্যক বৃক্ষৰোপণ কৰিব। উদাহৰণস্বৰূপে প্ৰথম শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই এজোপা, দ্বিতীয় শ্ৰেণীৰ এটা শাখাই দুজোপা ইত্যাদিকৈ গৈ সেইদৰে দ্বাদশ শ্ৰেণীলৈকে বৃক্ষৰোপণ কৰিব । প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰে তিনিটাকৈ শাখা আছে । ছাত্র-ছাত্ৰীবিলাকে মুঠতে কিমান জোপা গছ ৰোপন কৰিব ?
Answer :- প্ৰতিটো শ্ৰেণীৰ এটা শাখাৰ ছাত্র-ছাত্ৰীয়ে বৃক্ষ ৰোপণ কৰিব এনেদৰে
1, 2, 3, 4, .......... 12
ইয়াত d = 2 - 1
l বা a = 12
n
n = 12
n
: . S = (a + l)
n 2
12 6
=> S = (1 + 12)
12 6
=> 6 × 13
=> 78
: . তিনিটা শাখাৰ ছাত্র- ছাত্ৰীয়ে মুঠ গছ ৰোপন কৰিব = 78 × 3 = 234 /
18/ চিত্ৰ 5.4 ত দেখুৱাৰ দৰে 0.5 ছে, মি, 1.0 চে, মি 1.5 চে, মি, 2.0 চ, মি, ব্যাসাৰ্ধৰ অনুক্ৰমিক ভাৱে থকা কিছুমান অৰ্ধবৃত্তৰ দ্বাৰা এটি কুণ্ডলী সজোৱা হ'ল । এই অৰ্ধবৃত্তবোৰৰ কেন্দ্র A ত আৰম্ভ। ই এটাৰ পিছত এটাকৈ ক্ৰমে A, B কৈ আছে । 13 টা একাদিক্ৰমে থকা অৰ্ধবৃত্তৰ দ্বাৰ গঠিত এনে এটা কুণ্ডলীৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য কিমান ?
22
(ধৰা π = )
7
ইংগিত: অনুক্ৰমিক ভাৱে থকা অৰ্ধবৃত্ত সমূহৰ দৈৰ্ঘ্য l1, l2, 3, l4, ..... আৰু ইহঁতৰ কেন্দ্র ক্ৰমে A, B, A, B, ........ ]
Answer :- দিয়া আছে অৰ্ধবৃত্তৰ ব্যাসাৰ্ধবোৰ ক্ৰমে 0.5 CM, 1.0 CM, 1.5 CM, 2.0 CM, ...................
অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিসীমা
2πr
=> = πr
2
প্ৰথম অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিসীমা (l1) π × 0.5 = 0.5 π
দ্বিতীয় অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিসীমা (l 2) π × 1 = 1 π
তৃতীয় অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিসীমা (l 3) π × 1.5 = 1.5 π
চতুর্থ অৰ্ধবৃত্তৰ পৰিসীমা (l 4) π × 2 = 2π .................
: . 0.5 π, 1π , 1.5π , 2π ........... আদিয়ে AP গঠন কৰিব ।
ইয়াত a = 0.5 π
d = 1π - 0.5 π
n = 13
n
: . S = [2a + (n - 1)d ]
n 2
12
=> S = [2× 0.5π + 12 × 0.5 π]
13 2
13
=> [1π = 6π]
2
13
=> × 7π
2
13 22
=> × 7 ×
2 7
=> 143 m
: . কুণ্ডলী টোৰ মুঠ দৈৰ্ঘ্য = 143 m /
19/ 200 টুকুৰা কাঠ এনেদৰে সজোৱা হ'ল : 20 টুকুৰা একেবাৰে তলৰ শাৰীত, তাৰ পিছৰ শাৰীত 19 টুকুৰা, তাৰ পিছত 18 টুকুৰা, তাৰ পিছত 18 টুকুৰা ইত্যাদি। চিত্ৰ 5.5 চোৱা) 200 টুকুৰা কাঠ কিমান শাৰীত সজোৱা হ'ল আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত কেইটুকুৰা কাঠ আছে ?
20, 19, 18, 17 ...............
ইয়াত a = 20
d = 19 - 20 = - 1
S = 200
n
n
=> [a2 + (n - 1)d = 200
2
n
=> [2 × 20 + (n - 1) (-2)] = 200
2
=> n(40 - n + 1) = 200 × 2
=> n(41 - n) = 400
=> 41n - n² - 400 = 0
=> - n² + 41n - 400 = 0
=> n² - 41n + 400 = 0
=> n² - (16 + 25)n + 400 = 0
=> n² - 16n - 25 + 400 = 0
=> n(n - 16) - 25(n - 16) = 0
=> (n - 16) (n - 25) = 0
: . n - 16 = 0 Or n - 25 = 0
=> n = 16 => n = 25
এতিয়া a16 = a + 15d a25 = a + 24d
=> 20 + 115(- 1) => 20 + 24(-1)
=> 20 - 15 => 20 - 24
=> 5 => - 4 (অসম্ভৱ)
: . শাৰীৰ সংখ্যা = 15
আৰু একেবাৰে ওপৰৰ শাৰীত কাঠৰ টুকুৰা থাকিৱ 5 টা /
20/ এটা আলু দৌৰ প্ৰতিযোগিতাত এটা বাল্টি আৰম্ভণী বিন্দুত থোৱা আছে আৰু বাল্টিটো প্ৰথম আলু টুৰ পৰা 5 মি, আঁতৰত আছে । এডাল সৰলৰেখাত 3 মি, আঁতৰে আঁতৰে আন বিলাক আলু আছে । ৰেখাডালত মুঠতে 10 টা আলু আছে । (চিত্ৰ 5.6 চোৱা) ।
এজন প্ৰতিযোগিয়ে বাল্টি টোৰ কাষৰ পৰা গৈ একেবাৰে ওচৰতে পোৱা আলুটো বুটলি লৈ উভতি দৌৰি আহি আলুটো বাল্টিটোত ভৰাই থৈ পুনৰ দৌৰি গৈ ওচৰতে থকা পিছৰ আলুটো বুটলি লৈ আকৌ উভতি দৌৰি আহি একেদৰে বাল্টিটোত থয় । এইদৰে তেওঁ দৌৰি দৌৰি শেষৰ আলুটোও বাল্টিটোত থয় । প্ৰতিযোগিজনে মুঠতে কিমান দূৰত্ব দৌৰিব লগা হ'ল ?
ইংগিত : প্ৰথমটো আৰু দ্বিতীয়টো আলু বুটলিবলৈ প্ৰতিযোগিজনে মুঠতে দৌৰিব লগা দূৰত্ব (মিটাৰত) হ'ল :-
=> 2 × 5 + 2 × (5 + 3) ]
Answer :- প্ৰথম আলুটো বুটলিবলৈ অতিক্রম কৰা দূৰত্ব = 2 × 5 = 10
দ্বিতীয় আলুটো বুটলিবলৈ অতিক্রম কৰা দূৰত্ব = 2 ×(5 + 3) = 16
তৃতীয় আলুটো বুটলিবলৈ অতিক্রম কৰা দূৰত্ব = 2 × (5 + 3 + 3) = 22 .............
: . 10 , 16, 22, ...... (য় AP গঠন কৰে) ।
ইয়াত a = 10
d = 16 - 10 = 6
n = 10
n
: . S = [2a + (n - 1)d ]
n 2
5 10
=> S = [2× 10 + 9 × 6)]
10 2
=> 5(20 + 54)
=> 5 × 74
=> 370 m
: . মুঠ দূৰত্ব দৌৰিব লগা হ'ল = 370 m /
CLASS 10 METHS QUESTION ANSWER
২/ বহুপদ
৩/ দুটা চলকত ৰৈখিক সমীকৰণৰ যোৰ
৫/ সমান্তৰ প্ৰগতি
CLASS 10 ASSAMESE QUESTION ANSWER
১/ বৰগীত
৩/ প্ৰশস্তি
৪/ মই অসমীয়া
৫/ দৃশ্যান্তৰ
ENGLISH CLASS 10 QUESTION ANSWER
4/ From the Diary of Anne Frank
CLASS 10 COCIAL SCIENCE ANSWER
১/ বংগ বিভাজন আৰু স্বদেশী আন্দোলন
২/ মহাত্মা গান্ধী আৰু ভাৰতৰ স্বাধীনতা সংগ্ৰাম
৩/ অসমত ব্ৰিটিছ বিৰোধী জাগৰণ আৰু কৃষক বিদ্ৰোহ
৪/ স্বাধীনতা আন্দোলন আৰু অসমত জাতীয় জাগৰণ
৫/ ভাৰত আৰু উত্তৰ পূৰ্বাঞ্চলৰ সাংস্কৃতিক ঐতিহ্য
